算法第三次作业

一、数字三角形的动态规划分析
1.1 递归方程式、定义及边界条件
dp[i][j]：从数字三角形顶部（1行1列）到i行j列时的最大路径和。
递归方程式：每一步只能从上方或左上方到达当前位置（从下往上分析时），因此：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
边界条件：数字三角形的顶部（1行1列）的最大路径和就是其自身，即dp[0][0] = triangle[0][0]。

1.2 填表法的维度、范围、顺序及原问题最优值
二维表dp维度与数字三角形一致（n行，每行列数等于行号）。
填表范围为覆盖数字三角形的所有元素（从1行到n行，每行从1列到当前行的列数），从下往上逐行填充表格，先填第1行，再依次填第2行直到第n行。
原问题的最优值：n行中dp[n-1][j]的最大值。

1.3 时间和空间复杂度
时间复杂度：需遍历数字三角形的所有元素，共1+2+3+…+n = n(n+1)/2个元素，时间复杂度为O(n^2)。
空间复杂度:若使用二维dp表，空间复杂度为O(n^2)；若优化为一维数组（从下往上填充时，仅保留上一行的状态），空间复杂度可降为O(n)。

二、对动态规划算法的理解和体会
动态规划的核心是将原问题分解为重叠子问题，通过记录子问题的最优解（状态）避免重复计算，其关键在于找到"最优子结构"和"状态转移方程"。以“数字三角形”为例：原问题的最大路径和依赖于“上一行相邻位置的最大路径和”（最优子结构），通过状态转移方程可逐步推导得到结果。动态规划的优势是用空间换时间，将暴力解法的指数级复杂度降为多项式级。动态规划的设计需要明确“状态定义”；空间优化（如一维数组）则体现了其灵活性——在不影响正确性的前提下，可通过压缩状态减少资源消耗。