Link Cut Tree学习笔记

动态树问题和Link Cut Tree

  动态树问题是一类要求维护一个有根树森林,支持对树的分割, 合并等操作的问题。

  Link Cut Tree林可砍树?简称LCT)是解决这一类问题的一种数据结构。

一些无聊的定义

  Link Cut Tree维护的是动态森林中每棵树的任意链剖分。

  Preferred Child,每个点偏好的子节点,对于每个点,要么它没有,要么它只有一个。

  Preferred Edge,连接每个点和它偏好的子节点的边,以下简称为实边

  相对地,对于非实边的边,以下简称为虚边。

  Preferred Path,由Preferred Edge 连接成的不可再延伸的路径。以下简称为实链。特殊地,如果与一个点相连的所有边都是虚边,那么这一个点独自构成一条实链。

  显然,所有实链覆盖所有的点。

  对于每条实链,LCT用一颗Splay对节点按深度为关键字进行维护。

//接下来会默认读者能熟练地敲打Splay的板子

  为了方便直接用Splay森林来维护。对于每棵Splay,它还需要维护它的维护的实链的顶端(深度最小的点)的父节点,这个记在根结点上。

access操作

  access操作是将某个节点$x$到根的路径变为实链。

  由图中可以看出,access操作可以看成以下几个操作的反复进行:

  1. 断掉当前实链中当前点和比它深的点之间的实边
  2. 合并当前实链和上一条实链
  3. 访问实链顶端的父节点 

  当当前点为空的时候结束,不存在上一条实链的时候它为空。

  显然这样操作恰好将指定点到根的路径变为实链了。

1 void access(SplayNode *p) {
2     SplayNode* q = NULL;
3     while (p) {
4         splay(p);
5         q = p, p = p->fa;
6     }
7 }

换根操作

  将一棵树的根变为指定点。

  考虑换根操作的影响:

  只是旧根到新根的路径被翻转了。那就先对新根执行access操作,然后打反转标记就好了。

1 void mkroot(SplayNode* node) {
2     access(node);
3     splay(node);
4     node->rev ^= 1;
5 }

link和cut操作

  link操作是连接两个不连通的点,cut操作是删除一条原有的边。

  考虑link操作,将其中一个作为根然后向另一个点连接一条虚边即可。

  考虑cut操作,将其中一个作为根,然后对另一个点做access操作,这样恰好根所在的Splay中的后继是另一个点,Splay树上断掉这条边即可。

 1 void link(int u, int v) {
 2     SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v;
 3     if(isConnected(p, q))    return ;
 4     mkroot(q);
 5     q->fa = p, splay(q);
 6 }
 7         
 8 void cut(int u, int v) {
 9     SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v;
10     mkroot(p);
11     access(q);
12     splay(q);
13     q->ch[0] = p->fa = NULL;
14 }

例1 Cave 洞穴勘测

题目大意

  给定一个动态森林,要求支持加边、删边和询问两点之间的连通性。

  判断两点之间是否连通,等价于它们所在的树的根相同。

  所以考虑如何找一个点所在树的根。

  首先access这个点,然后把它伸展到根,然后暴力跳左子树就好了。

Code

  1 /**
  2  * bzoj
  3  * Problem#2049
  4  * Accepted
  5  * Time: 1976ms
  6  * Memory: 1500k
  7  */
  8 #include <bits/stdc++.h>
  9 using namespace std;
 10 typedef bool boolean;
 11 
 12 typedef class SplayNode {
 13     public:
 14         boolean rev;
 15         SplayNode *ch[2];
 16         SplayNode *fa;
 17         
 18         SplayNode():rev(0), ch({NULL, NULL}), fa(NULL) {        }
 19         
 20         boolean isRoot() {
 21             if(fa == NULL)    return true;
 22             return fa->ch[0] != this && fa->ch[1] != this;
 23         }
 24         
 25         void pushDown() {
 26             swap(ch[0], ch[1]);
 27             if(ch[0])    ch[0]->rev ^= 1;
 28             if(ch[1])    ch[1]->rev ^= 1;
 29             rev = 0;
 30         }
 31 }SplayNode;
 32 
 33 typedef class LinkCutTree {
 34     public:
 35         SplayNode *pool;
 36         
 37         LinkCutTree():pool(NULL) {        }
 38         LinkCutTree(int n) {
 39             pool = new SplayNode[(n + 1)];
 40         }
 41         
 42         void rotate(SplayNode* node) {
 43             SplayNode* fa = node->fa;
 44             boolean aFlag = fa->isRoot();
 45             int d = fa->ch[1] == node;
 46             fa->ch[d] = node->ch[d ^ 1];
 47             node->fa = fa->fa;
 48             fa->fa = node;
 49             node->ch[d ^ 1] = fa;
 50             if(fa->ch[d])    fa->ch[d]->fa = fa;
 51             if(!aFlag) node->fa->ch[node->fa->ch[1] == fa] = node;
 52         }
 53         
 54         SplayNode* s[10005];
 55         void splay(SplayNode* node) {
 56             int top = 0;
 57             s[++ top] = node;
 58             for (SplayNode* p = node; !p -> isRoot(); p = p->fa) s[++ top] = p -> fa; 
 59             for (int i = top; i; -- i) if (s[i] -> rev) s[i] -> pushDown();
 60             while(!node->isRoot()) {
 61                 SplayNode *fa = node->fa, *ffa = fa->fa;
 62                 if(fa->isRoot()) {
 63                     rotate(node);
 64                     break;
 65                 }
 66                 int d1 = (fa->ch[1] == node), d2 = ffa->ch[1] == fa;
 67                 if(d1 == d2)
 68                     rotate(fa);
 69                 else
 70                     rotate(node);
 71                 rotate(node);
 72             }
 73         }
 74         
 75         SplayNode* findSplayRoot(SplayNode* node) {
 76             access(node);
 77 //            while(node->fa)    node = node->fa;
 78             splay(node);
 79             while(node->ch[0])    node = node->ch[0];
 80             return node;
 81         }
 82         
 83         void access(SplayNode* node) {
 84             SplayNode* p = NULL;
 85             do {
 86                 splay(node);
 87                 node->ch[1] = p;
 88                 p = node;
 89                 node = node->fa;
 90             } while (node);
 91         }
 92         
 93         boolean isConnected(SplayNode* p, SplayNode* q) {
 94             return findSplayRoot(p) == findSplayRoot(q);
 95         }
 96         
 97         void mkroot(SplayNode* node) {
 98             access(node);
 99             splay(node);
100             node->rev ^= 1;
101         }
102         
103         void link(int u, int v) {
104             SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v;
105             if(isConnected(p, q))    return ;
106             mkroot(q);
107             q->fa = p, splay(q);
108         }
109         
110         void cut(int u, int v) {
111             SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v;
112             mkroot(p);
113             access(q);
114             splay(q);
115             q->ch[0] = p->fa = NULL;
116         }
117         
118         boolean isConnected(int u, int v) {
119             return isConnected(pool + u, pool + v);
120         }
121 }LinkCutTree;
122 
123 int n, m;
124 LinkCutTree lct;
125 char buf[15];
126 int u, v;
127 inline void solve() {
128     scanf("%d%d", &n, &m);
129     lct = LinkCutTree(n);
130     while(m--) {
131         scanf("%s%d%d", buf, &u, &v);
132         switch(buf[0]) {
133             case 'C':
134                 lct.link(u, v);
135                 break;
136             case 'D':
137                 lct.cut(u, v);
138                 break;
139             case 'Q':
140                 puts((lct.isConnected(u, v)) ? ("Yes") : ("No"));
141                 break;
142         }
143     }
144 }
145 
146 int main() {
147     solve();
148     return 0;
149 }
View Code

时间复杂度证明

  如果学习一个数据结构能证明它的时间复杂度那就再好不过了。

  对于LCT的操作,基本上是access,然后加上某些$O(1)$的操作或者均摊$O(\log n)$的Splay操作。所以只需要证明access的时间复杂度是$O(\log n)$即可。

  在开始证明前,你需要知道Splay的时间复杂度和一些常识性的东西。

定理1 对于操作splay(x),设操作前$x$的子树大小为$siz[x]$,操作后的子树大小为$siz'[x]$,splay(x)的均摊时间复杂度小于等于$3(\log siz'[x] - \log siz[x]) + 1$

   证明略去(其实是我不会)

  下面一个是关于轻重链剖分的常识,证明可以看这篇随笔

定理2 一条根节点到叶节点的路径上,轻边的条数不超过$\log_{2}n$条

   然后还有一个需要证明的事情。

定理3 Preferred Child的改变次数均摊为$O(log_{2}n)$次

  证明 因为每次Preferred Child的改变时会导致实边发生改变。所以考察实边改变的次数即可。

  这一部分可以分为两种情况:

  • 一条轻虚边被改为轻实边。
  • 一条重虚边被改为重实边。 

  因为轻边总数不超过$\log_{2}n$条,所以第一部分的改变次数不超过$\log_{2}n$次。

  考虑重虚边被改为重实边的情况。

  考虑每一条重边,它从实变为虚,虚变为实的过程是交替进行的。所以它被改为实边的次数不会超过它从实边被改为虚边的次数加1。

  当一条重实边被改为重虚边会导致一条轻虚边变为轻实边,同时我们证明了轻虚边变为轻实边的均摊次数不超过$O(log_{2}n)$,所以一条重虚边被改为重实边的次数也不超过$O(log_{2}n)$。

  因此定理得证。

定理4 access的均摊时间复杂度为$O(log_{2}n)$

  证明 设每次设为当前点的点依次为$v_{0}, v_{1}, v_{2},\cdots,v_{k}$。

  那么有:

$\widehat{cost}\leqslant 3\left (\sum_{i = 1}^{k}\log siz[v_{i}] - \log siz[v_{i - 1}] + 1 \right ) + \log siz[v_{0}]$

  所以化简后再根据定理3,可得:

$\widehat{cost}\leqslant 6\log{n}$

Link Cut Tree维护链上信息

  对于有关边权的链上信息考虑为每条边建一个虚点。然后和它两端连边。

  查询链上信息可以通过把一个点变为根,access另一个点后的splay中的信息就是这条链上的信息。

  但是有些装逼爱好者觉得这样不能满足他们的欲望,想出了一种不用建虚点的方法。很开心的是细节超多,看到neither_nor的某道题写了200+行,想想得到结论——装逼是要有代价的。

  这个方法的讲解:neither_nor神犇的博客

例2 魔法森林

题目大意

  一张图有$n$个点,$m$条边,第$i$条边有两个边权$a_{i}$和$b_{i}$。定义从1号点走到$n$号点的代价是经过边的所有$a$边权的最大值加上所有$b$边权的最大值。

  问从1号点走到$n$号点的最小代价。

  高维问题常见思路是降维,因此考虑按照$a$边权排序,然后枚举。

  假设图开始是空的,然后依次加入每一条边。

  • 如果边的两端未连通,直接加就好了。
  • 如果边的两端连通,那么会形成环。根据人生的经验和图论的哲理,可以知道,环是这两点在树上的简单路径再加上这一条边。那么找到换上$b$边权最大的一条边比较它和当前边的$b$边权。如果当前边的$b$边权更小,那么就把树上的那条边cut掉,然后把这条新边加上。

  如果在某个时候1和$n$连通,就查询一下它们之间的简单路径中$a$边权和$b$边权的最大值就好了。

  由于这里的“删边”不会改变连通性(因为马上你会加一条边),所以可以直接用并查集维护连通性。

Code

  1 /**
  2  * uoj
  3  * Problem#3
  4  * Accepted
  5  * Time: 2287ms
  6  * Memory: 11208k
  7  */
  8 #include <bits/stdc++.h>
  9 using namespace std;
 10 typedef bool boolean;
 11 
 12 typedef class SplayNode {
 13     public:
 14         boolean rev;
 15         int ea, eb, idx;
 16         int ma, mb, ib;
 17         SplayNode *ch[2];
 18         SplayNode *fa;
 19 
 20         SplayNode():rev(false), ea(0), eb(0), idx(0), ma(0), mb(0), ib(0), ch({NULL, NULL}), fa(NULL) {    }
 21         
 22         void pushUp() {
 23             ma = ea, mb = eb, ib = idx;
 24             for (int i = 0; i < 2; i++)
 25                 if (ch[i]) {
 26                     (ch[i]->ma > ma) ? (ma = ch[i]->ma) : (0);
 27                     (ch[i]->mb > mb) ? (mb = ch[i]->mb, ib = ch[i]->ib) : (0);
 28                 }
 29         }
 30 
 31         void pushDown() {
 32             swap(ch[0], ch[1]);
 33             if (ch[0])    ch[0]->rev ^= 1;
 34             if (ch[1])    ch[1]->rev ^= 1;
 35             rev = false;
 36         }
 37 
 38         boolean isroot() {
 39             return !fa || (fa->ch[0] != this && fa->ch[1] != this);
 40         }
 41 
 42         int which() {
 43             return (!isroot()) ? (fa->ch[1] == this) : (-1);
 44         }
 45 }SplayNode;
 46 
 47 typedef class LinkCutTree {
 48     public:
 49         SplayNode* pool;
 50         SplayNode** s;
 51         int top, n;
 52 
 53         LinkCutTree() {    }
 54         LinkCutTree(int n, int m):n(n) {
 55             pool = new SplayNode[(n + m + 1)];
 56             s = new SplayNode*[(n + m + 1)];
 57         }
 58 
 59         void rotate(SplayNode* p) {
 60             int d = p->which(), df = p->fa->which();
 61             SplayNode* fa = p->fa, *ffa = fa->fa, *ls = p->ch[d ^ 1];
 62             fa->ch[d] = ls, (ls) ? (ls->fa = fa) : (0);
 63             p->fa = ffa, (~df) ? (ffa->ch[df] = p) : (0);
 64             p->ch[d ^ 1] = fa, fa->fa = p;
 65             fa->pushUp(), p->pushUp();
 66         }
 67 
 68         void splay(SplayNode* p) {
 69             SplayNode *np = p;
 70             for (top = 0; s[++top] = np, !np->isroot(); np = np->fa);
 71             for ( ; top; top--)
 72                 if (s[top]->rev)
 73                     s[top]->pushDown();
 74             for ( ; !p->isroot(); rotate(p))
 75                 if (!p->fa->isroot())
 76                     rotate((p->which() == p->fa->which()) ? (p->fa) : (p));
 77         }
 78 
 79         void access(SplayNode *p) {
 80             SplayNode* q = NULL;
 81             while (p) {
 82                 splay(p);
 83                 p->ch[1] = q;
 84                 p->pushUp();
 85                 q = p, p = p->fa;
 86             }
 87         }
 88 
 89         void mkroot(SplayNode *p) {
 90             access(p);
 91             splay(p);
 92             p->rev ^= 1;
 93         }
 94 
 95         void link(SplayNode* p, SplayNode* q) {
 96             mkroot(q);
 97             q->fa = p;
 98         }
 99 
100         void cut(SplayNode* p, SplayNode* q) {
101             mkroot(p);
102             access(q);
103             p->ch[1] = q->fa = NULL;
104             p->pushUp();
105         }
106 
107         SplayNode* query(int u, int v) {
108             SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v;
109             mkroot(p), access(q);
110             splay(p);
111             return p;
112         }
113 
114         void link(int u, int v, int a, int b, int idx) {
115             SplayNode* p = pool + u, *q = pool + v, *es = pool + n + idx;
116             es->ea = es->ma = a, es->eb = es->mb = b, es->ib = es->idx = idx;
117             link(p, es), link(es, q);
118         }
119 
120         void cut(int u, int v, int idx) {
121             SplayNode *p = pool + u, *q = pool + v, *es = pool + n + idx;
122             cut(p, es), cut(es, q);
123         }
124         
125         void debugOut(SplayNode* p) {
126             if (!p)    return;
127             fprintf(stderr, "%d (fa: %d, ea: %d, eb: %d, ma: %d, mb: %d, idx: %d, ib: %d, flag: %d) {", p - pool, (!p->fa) ? (0) : (p->fa - pool), p->ea, p->eb, p->ma, p->mb, p->idx, p->ib, p->rev);
128             debugOut(p->ch[0]);
129             fprintf(stderr, ", ");
130             debugOut(p->ch[1]);
131             fprintf(stderr, "}");
132         }
133         
134         void debugOut() {
135             fprintf(stderr, "--------------------\n");
136             for (int i = 1; i <= 7; i++)
137                 if (pool[i].isroot())
138                     debugOut(pool + i), fprintf(stderr, "\n");
139         }
140 }LinkCutTree;
141 
142 typedef class Edge {
143     public:
144         int u, v, a, b;
145 
146         boolean operator < (Edge b) const {
147             return a < b.a;
148         }
149 }Edge;
150 
151 int n, m;
152 int res = 211985;
153 int* f;
154 Edge* es;
155 LinkCutTree lct;
156 
157 int find ( int x )  {
158     while ( x != f [x] )  x = f [x] = f [f [x]] ;
159     return x ;    
160 }
161 
162 inline void init() {
163     scanf("%d%d", &n, &m);
164     f = new int[(n + 1)];
165     es = new Edge[(m + 1)];
166     lct = LinkCutTree(n, m);
167     for (int i = 1; i <= n; i++)
168         f [i] = i ;
169     for (int i = 1; i <= m; i++)
170         scanf("%d%d%d%d", &es[i].u, &es[i].v, &es[i].a, &es[i].b);
171 }
172 
173 inline void solve() {
174     SplayNode* p;
175     sort(es + 1, es + m + 1);
176     for (int i = 1, u, v, a, b; i <= m; i++) {
177         u = es[i].u, v = es[i].v, a = es[i].a, b = es[i].b;
178         if (u == v)    continue;
179         if (find(u) != find(v))  {
180             lct.link(u, v, a, b, i);//, cerr << u << " " << v << endl;
181             f [find ( u )] = find ( v ) ;
182         }
183         else {
184 //            cerr << "R:" << u << " " << v << endl; 
185             p = lct.query(u, v);
186             if (p->mb > b) {
187                 lct.cut(es[p->ib].u, es[p->ib].v, p->ib);
188                 lct.link(u, v, a, b, i);
189             }
190         }
191         if (find ( 1 ) == find (n)) {
192             p = lct.query(1, n);
193             res = min(res, p->ma + p->mb);
194 //            cerr << "Q" << endl;
195         }
196 //        lct.debugOut();
197     }
198     printf("%d\n", (res == 211985) ? (-1) : (res));
199 }
200 
201 int main() {
202     srand(233);
203     init();
204     solve();
205     return 0;
206 }
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Link Cut Tree维护子树信息

  首先来说说一些无聊的定义。

  众所周知,LCT维护的是一个动态森林的链剖分。

  定义一个点的LCT子树是这个点在Splay上的子树。

  所以LCT子树可能并不是原树中的子树,它可能包含这个点的祖先。

  一个点的所有虚子树是在Splay中所有与它通过虚边相连的点的LCT子树。

  一个点的所有实子树是在Splay中它的左右子树。

   因此一个点的LCT子树等于它的所有虚子树加上它的所有实子树和它自己。

某个很有用的性质 将一个点access后,它的虚子树信息再加上它自己的信息就是它的在原树中的子树信息。

  因为access这个点之后它就没有Preferred Child,它的所有子节点都和它通过虚边相连。它的子节点的LCT子树不包含后代,所以恰好是原树中的子树信息。

  考虑什么时候虚子树信息会改变:

  • 当access一个点后
  • 当进行link和cut操作时

  情况1很好处理,断开一条实边的时候加上它的LCT子树信息,添加一条实边的时候减去它的LCT子树信息。

  看起来现在需要维护LCT子树信息,也就是说修改后还需要将信息上传。

  但是access进行断边的时候能够保证当前点是Splay的根,所以通常不用上传任何信息(因为通常它的LCT子树信息不会改变)。

  考虑link操作,我们会添加一条虚边,它会改变一个点的子树信息以及它的祖先的子树信息。

  所以我们先access它,然后把它伸展到根,于是就巧妙地避开了更新祖先的子树信息。

  继续考虑cut操作,我们会断掉1条边,可以用同样的方法进行处理。

注意事项

  • Splay的形态发生改变时会改变LCT子树信息但是不会改变虚子树信息
  • 发生虚实边的改变时才会导致虚子树信息发生改变
  • 修改时要考虑信息上传的问题,如果难以上传可以考虑避开上传,或者直接进行链上修改。

例3 大融合

题目大意

  维护一个动态森林,要求支持

  1. 添加一条边
  2. 询问经过一条边的所有简单路径数

  假如是一个静态森林,那么如果处理询问操作?

  这条边会把树分成两部分,对吧?答案是这两个部分的点数的乘积。

  考虑如何在动态森林中维护子树大小,还是很显然的。

  那么如何算答案?

  把其中一个变成根,然后就可以计算两部分的点数了。

Code

  1 /**
  2  * bzoj
  3  * Problem#4530
  4  * Accepted
  5  * Time: 1124ms
  6  * Memory: 3488k
  7  */
  8 #include <bits/stdc++.h>
  9 #ifndef WIN32
 10 #define Auto "%lld"
 11 #else
 12 #define Auto "%I64d"
 13 #endif
 14 using namespace std;
 15 typedef bool boolean;
 16 
 17 #define ll long long
 18 
 19 typedef class SplayNode {
 20     public:
 21         boolean rev;
 22         int ls, vs;
 23         SplayNode* ch[2];
 24         SplayNode* fa;
 25 
 26         SplayNode():rev(false), ls(1), vs(0), ch({NULL, NULL}), fa(NULL) {    }
 27         
 28         void pushUp() {
 29             ls = 1 + vs;
 30             if (ch[0])    ls += ch[0]->ls;
 31             if (ch[1])    ls += ch[1]->ls;
 32         }
 33 
 34         void pushDown() {
 35             swap(ch[0], ch[1]);
 36             if (ch[0])    ch[0]->rev ^= 1;
 37             if (ch[1])    ch[1]->rev ^= 1;
 38             rev = false;
 39         }
 40 
 41         boolean isRoot() {
 42             if (!fa)    return true;
 43             return fa->ch[0] != this && fa->ch[1] != this;
 44         }        
 45 }SplayNode;
 46 
 47 typedef class LinkCutTree {
 48     public:
 49         int top;
 50         SplayNode* pool;
 51         SplayNode** s;
 52 
 53         LinkCutTree():pool(NULL), s(NULL) {        }
 54         LinkCutTree(int n):top(0) {
 55             pool = new SplayNode[(n + 1)];
 56             s = new SplayNode*[(n + 1)];
 57         }
 58 
 59         void rotate(SplayNode *p) {
 60             int d = (p->fa->ch[1] == p), d1 = (p->fa->fa) ? (p->fa->fa->ch[1] == p->fa) : (-1);
 61             SplayNode *fa = p->fa, *ffa = fa->fa, *ls = p->ch[d ^ 1];
 62             boolean sign = fa->isRoot();
 63             p->ch[d ^ 1] = fa, fa->fa = p;
 64             fa->ch[d] = ls, (ls) ? (ls->fa = fa) : (0);
 65             p->fa = ffa, (!sign && ~d1) ? (ffa->ch[d1] = p) : (0);
 66             fa->pushUp(), p->pushUp();
 67         }
 68 
 69         void splay(SplayNode* p) {
 70             SplayNode *np = p, *fp = p->fa;
 71             for (top = 0; s[++top] = np, !np->isRoot(); np = np->fa);
 72             for (; top; top--)
 73                 if (s[top]->rev)
 74                     s[top]->pushDown();
 75             for (; !p->isRoot(); rotate(p), fp = p->fa)
 76                 if (!fp->isRoot())
 77                     rotate(((fp->fa->ch[1] == fp) == (fp->ch[1] == p)) ? (fp) : (p));
 78         }
 79 
 80         void access(SplayNode *p) {
 81             SplayNode *q = NULL;
 82             while (p) {
 83                 splay(p);
 84                 p->vs += ((p->ch[1]) ? (p->ch[1]->ls) : (0));
 85                 p->vs -= ((q) ? (q->ls) : (0));
 86                 p->ch[1] = q;
 87                 p->pushUp();
 88                 q = p, p = p->fa;
 89             }
 90         }
 91 
 92         void mkroot(SplayNode *p) {
 93             access(p);
 94             splay(p);
 95             p->rev ^= 1;
 96         }
 97 
 98         void link(int u, int v) {
 99             SplayNode *a = pool + u, *b = pool + v;
100             mkroot(b);
101             access(a);
102             splay(a);
103             b->fa = a;
104             a->vs += b->ls;
105             a->pushUp();
106         }
107         
108         SplayNode* findPre(SplayNode* p) {
109             splay(p);
110             p = p->ch[0];
111             while (p) {
112                 if (p->rev)    p->pushDown();
113                 if (!p->ch[1])    break;
114                 p = p->ch[1];
115             }
116             return p;
117         }
118         
119         ll query(int u, int v) {
120             SplayNode *p = pool + u, *q = pool + v;
121             mkroot(p);
122             access(q);
123             splay(p);
124             int s1 = q->vs + 1, s2 = p->ls; 
125             return s1 * 1ll * (s2 - s1);    
126         }
127 }LinkCutTree;
128 
129 int n, m;
130 LinkCutTree lct;
131 
132 inline void init() {
133     scanf("%d%d", &n, &m);
134     lct = LinkCutTree(n);
135 }
136 
137 inline void solve() {
138     char s[5];
139     int u, v;
140     while (m--) {
141         scanf("%s%d%d", s, &u, &v);
142         if (s[0] == 'A')
143             lct.link(u, v);
144         else
145             printf(Auto"\n", lct.query(u, v));
146     }
147 }
148 
149 int main() {
150     init();
151     solve();
152     return 0;
153 }
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小结

  LCT的时间复杂度虽然只带一个log,但是算上常数没有两个log的树链剖分快,而且树链剖分好写好调,LCT细节繁杂,所以尽量挖掘题目性质,避免盲目使用LCT(比如有些题可以线段数分治或者离线树剖就可以过)。

  LCT维护链的常用套路:将一个点设为根,将另一个点access。

  提取LCT中链、子树信息的时候要考虑是否提取到的信息是否是想要的(比如我经常忘记先splay)

  LCT中splay操作时,最好先进行从上往下进行pushDown。我不知道为什么在旋转操作中pushDown会在一些题目蜜汁T掉。

 

特别感谢

  ZJC

  Doggu

  MaxMercer

 

参考资料

  neither_nor的讲课ppt

  《QTREE解法的一些研究》  杨哲

posted @ 2018-02-25 13:20  阿波罗2003  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏