bzoj 2820 YY的GCD - 莫比乌斯反演 - 线性筛

Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种
傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入

Input

第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正整数,表示N, M

Output

T行,每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input

2
10 10
100 100

Sample Output

30
2791

HINT

 

T = 10000

N, M <= 10000000


  题目大意 (题目太简洁不需要大意)。

  根据常用套路,我们有

  

  显然TLE,为了更好的分段计算,所以考虑把后面两个向下取整取整的分数挪出来。于是得到了下面这个优美的式子:

  现在就来考虑后面那个求和。

  考虑莫比乌斯函数的性质和p为质数。

  1)当T存在一个质因子的指数超过2,显然对答案贡献为0

  2)当T存在超过1个质因子的指数为2,显然对答案贡献为0

  3)当T只存在1个质因子的指数为2,那么当且仅当p的值为这个质因子时,对答案才有贡献,这个贡献为-1的不同质因子次幂。

  4)当T的质因子的指数均为1,那么对答案的贡献为T的质因子个数乘-1的不同质因子个数减一 次幂。

  显然可以用线性筛预处理出这个的值的前缀和,这样就可以做到单次查询根号级别。

  至于如何用线性筛预处理,我记录了一个enable表示是否存在1个质因子的指数大于等于2和defp表示不同的质因子的个数。详细的过程请看代码(假设读者的数学水平可以轻松把这个秒掉)。

Code

 1 /**
 2  * bzoj
 3  * Problem#2820
 4  * Accepted
 5  * Time:4708ms
 6  * Memory:141912k
 7  */
 8 #include <bits/stdc++.h>
 9 #ifndef WIN32
10 #define Auto "%lld"
11 #else
12 #define Auto "%I64d"
13 #endif
14 using namespace std;
15 typedef bool boolean;
16 
17 #define LL long long
18 
19 const int limit = 1e7;
20 
21 int num = 0;
22 int prime[1000000];
23 boolean vis[limit + 1];
24 boolean enable[limit + 1];
25 LL g[limit + 1];
26 int defp[limit + 1];
27 inline void Euler() {
28     memset(vis, false, sizeof(vis));
29     memset(enable, true, sizeof(enable));
30     g[0] = g[1] = 0;
31     for(int i = 2; i <= limit; i++) {
32         if(!vis[i])    prime[num++] = i, g[i] = 1, defp[i] = 1;
33         for(int j = 0; j < num && i * 1LL * prime[j] <= limit; j++) {
34             int c = i * prime[j];
35             vis[c] = true;
36             if(i % prime[j]) {
37                 defp[c] = defp[i] + 1;
38                 enable[c] = enable[i];
39                 g[c] = (enable[i]) ? ((defp[c]) * ((defp[c] & 1) ? (1) : (-1))) : (-g[i]);
40             } else {
41                 defp[c] = defp[i];
42                 enable[c] = false;
43                 g[c] = (enable[i]) ? ((defp[c] & 1) ? (-1) : (1)) : (0);
44                 break;
45             }
46         }
47     }
48     for(int i = 2; i <= limit; i++)
49         g[i] += g[i - 1];
50 //    cout << num << endl;
51 //    for(int i = 1; i <= 20; i++)
52 //        cout << i << " " << g[i] << " " << defp[i] << endl;
53 }
54 
55 int n, m;
56 inline void init() {
57     scanf("%d%d", &n, &m);
58 }
59 
60 inline void solve() {
61     if(n > m)    swap(n, m);
62     LL res = 0;
63     for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
64         j = min(n / (n / i), m / (m / i));
65         res += (n / j) * 1LL * (m / j) * (g[j] - g[i - 1]); 
66     }
67     printf(Auto"\n", res);
68 }
69 
70 int T;
71 int main() {
72     Euler();
73     scanf("%d", &T);
74     while(T--) {
75         init();
76         solve();
77     }
78     return 0;
79 }
posted @ 2017-07-28 10:14 阿波罗2003 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏