bzoj 2005 能量采集 - 容斥原理

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

  题目大意

  因为n和m单个比较小,而且gcd(i, j)不超过min(n, m),因此可以想到去枚举gcd(i, j)的取值,然后统计个数,再乘一乘即可。

  至于这个统计个数有一个很好的方法就是容斥原理,计算i和j都是d的倍数时的对数,这个很好算,直接搬结论吧,是,然后再减去gcd(i, j)的值为2d, 3d, ...的时候。

  这样显然倒着算能够更简单,这样的时间复杂度是O(nlog2n)。

Code

 1 /**
 2  * bzoj
 3  * Problem#2005
 4  * Accepted
 5  * Time:24ms
 6  * Memory:2068k
 7  */
 8 #include <iostream>
 9 #include <cstdio>
10 #include <ctime>
11 #include <cmath>
12 #include <cctype>
13 #include <cstring>
14 #include <cstdlib>
15 #include <fstream>
16 #include <sstream>
17 #include <algorithm>
18 #include <map>
19 #include <set>
20 #include <stack>
21 #include <queue>
22 #include <vector>
23 #include <stack>
24 #ifndef WIN32
25 #define Auto "%lld"
26 #else
27 #define Auto "%I64d"
28 #endif
29 using namespace std;
30 typedef bool boolean;
31 const signed int inf = (signed)((1u << 31) - 1);
32 const signed long long llf = (signed long long)((1ull << 61) - 1);
33 const double eps = 1e-6;
34 const int binary_limit = 128;
35 #define smin(a, b) a = min(a, b)
36 #define smax(a, b) a = max(a, b)
37 #define max3(a, b, c) max(a, max(b, c))
38 #define min3(a, b, c) min(a, min(b, c))
39 template<typename T>
40 inline boolean readInteger(T& u){
41     char x;
42     int aFlag = 1;
43     while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-' && x != -1);
44     if(x == -1) {
45         ungetc(x, stdin);    
46         return false;
47     }
48     if(x == '-'){
49         x = getchar();
50         aFlag = -1;
51     }
52     for(u = x - '0'; isdigit((x = getchar())); u = (u << 1) + (u << 3) + x - '0');
53     ungetc(x, stdin);
54     u *= aFlag;
55     return true;
56 }
57 
58 int n, m;
59 
60 inline void init() {
61     readInteger(n);
62     readInteger(m);
63     if(n > m)    swap(n, m);
64 }
65 
66 long long res = 0;
67 long long f[100005];
68 inline void solve() {
69     for(int d = n; d; d--) {
70         f[d] = (n / d) * 1LL * (m / d);
71         for(int i = (d << 1); i <= n; i += d)
72             f[d] -= f[i];
73         res += d * 1LL * f[d];
74     }
75     res = (res << 1) - m * 1LL * n;
76     printf(Auto, res);
77 }
78 
79 int main() {
80     init();
81     solve();
82     return 0;
83 }
Solution 1

   但是另外用点黑科技,可以让它变成O(n)。

  记得有一个关于欧拉函数的结论。于是有:

  

  现在等同于求有多少个数对(i, j)使得i能够整除d,j能够整除d,这是一个刚刚就解决了的问题,于是我们得到了下面这个优美的式子:

  对于求phi函数的值这个事情就交给已经闲置了一会儿的线性筛去做吧。

Code

  1 /**
  2  * bzoj
  3  * Problem#2005
  4  * Accepted
  5  * Time:4ms
  6  * Memory:2172k
  7  */
  8 #include <iostream>
  9 #include <cstdio>
 10 #include <ctime>
 11 #include <cmath>
 12 #include <cctype>
 13 #include <cstring>
 14 #include <cstdlib>
 15 #include <fstream>
 16 #include <sstream>
 17 #include <algorithm>
 18 #include <map>
 19 #include <set>
 20 #include <stack>
 21 #include <queue>
 22 #include <vector>
 23 #include <list>
 24 #ifndef WIN32
 25 #define Auto "%lld"
 26 #else
 27 #define Auto "%I64d"
 28 #endif
 29 using namespace std;
 30 typedef bool boolean;
 31 const signed int inf = (signed)((1u << 31) - 1);
 32 const signed long long llf = (signed long long)((1ull << 61) - 1);
 33 const double eps = 1e-6;
 34 const int binary_limit = 128;
 35 #define smin(a, b) a = min(a, b)
 36 #define smax(a, b) a = max(a, b)
 37 #define max3(a, b, c) max(a, max(b, c))
 38 #define min3(a, b, c) min(a, min(b, c))
 39 template<typename T>
 40 inline boolean readInteger(T& u){
 41     char x;
 42     int aFlag = 1;
 43     while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-' && x != -1);
 44     if(x == -1) {
 45         ungetc(x, stdin);    
 46         return false;
 47     }
 48     if(x == '-'){
 49         x = getchar();
 50         aFlag = -1;
 51     }
 52     for(u = x - '0'; isdigit((x = getchar())); u = (u << 1) + (u << 3) + x - '0');
 53     ungetc(x, stdin);
 54     u *= aFlag;
 55     return true;
 56 }
 57 
 58 const int limit = 1e5;
 59 
 60 int n, m;
 61 int num = 0;
 62 int prime[limit + 1];
 63 int phi[limit + 1];
 64 boolean vis[limit + 1];
 65 long long res = 0;
 66 
 67 inline void init() {
 68     readInteger(n);
 69     readInteger(m);
 70     if(n > m)    swap(n, m);
 71 }
 72 
 73 inline void Euler() {
 74     phi[1] = 1;
 75     memset(vis, false, sizeof(boolean) * (n + 1));
 76     for(int i = 2; i <= n; i++) {
 77         if(!vis[i])    prime[num++] = i, phi[i] = i - 1;
 78         for(int j = 0; j < num && i * 1LL * prime[j] <= n; j++) {
 79             int c = i * prime[j];
 80             vis[c] = true;
 81             if((i % prime[j]) == 0) {
 82                 phi[c] = prime[j] * phi[i];
 83                 break;
 84             } else {
 85                 phi[c] = phi[prime[j]] * phi[i];
 86             }
 87         }
 88     }
 89 }
 90 
 91 inline void solve() {
 92     for(int i = 1; i <= n; i++)
 93         res += (n / i) * 1LL * (m / i) * phi[i];
 94     printf(Auto"\n", (res * 2) - (long long)n * m);
 95 }
 96 
 97 int main() {
 98     init();
 99     Euler();
100     solve();
101     return 0;
102 }

 

posted @ 2017-07-24 20:23  阿波罗2003  阅读(...)  评论(...编辑  收藏