2024/2/20

今天学习一下缩点。

强连通的蓝题真水

luogu p2812

题意：

学校有n台计算机，他们之间有线路相连，我们视为有向边。

(1)问要使得所有计算机都能获取到一个消息，需要几台母机？

(2)如果用一台母机传播消息使得所有计算机都接收到，需要添加几条新的线路？

思路：

这个题是缩点的模板题。

首先通过tarjan的scc求得有向图中的环，每个环就相当于一个点，因为环内的每个点都可以任意到一个其他点。

简化有向图之后我们统计剩下点的入度和出度为零的点的数量，取最大值。

解释如图：

这三个图都需要练两条边。

注意还要特判一下如果只有一个联通量第二个数字是0

具体实现看代码（妙）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

vector<int>e[N];
int dfn[N], low[N], tot;
int stk[N], instk[N], top;	// 栈的作用是记录正在访问的点
int scc[N], siz[N], cnt;	//最后的结果是scc[i] = k 记录第i个节点在第k个强连通分量里，大小是siz【k】
int in[N], out[N];

void tarjan(int x) {
	//入x时， 盖戳， 入栈
	dfn[x] = low[x] = ++tot;
	stk[++top] = x, instk[x] = 1;
	for (int y : e[x]) {
		if(!dfn[y]) {		//若y尚未访问
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);		//回x时更新low
		}
		else if(instk[y]) { //若y已访问且在栈中
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		}
		// 剩下已经访问并且不在栈中的情况是y已经被访问完，不在枚举
	}
	//离x时，记录scc
	if(dfn[x] == low[x]) { //若x是scc的根
		int y; ++cnt;
		do{		//陆续把强连通分量出栈
			y = stk[top--]; instk[y] = 0;
			scc[y] = cnt; //scc编号
			++siz[cnt];   //scc大小
		} while(y != x);
	}
} 

void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int t;
		while(cin >> t && t) {
			e[i].push_back(t);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!dfn[i]) {
			tarjan(i);
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (auto it : e[i]) {
			if(scc[i] != scc[it]) {
				in[scc[it]]++;
				out[scc[i]]++;
			}
		}
	}

	int a = 0, b = 0;
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
		a += (in[i] == 0);
		b += (out[i] == 0); 
	}

	cout << a << endl;
	if(cnt == 1) {
		cout << 0 << endl;
	}
	else {
		cout << max(a, b) << endl;
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int T = 1; 
	while(T--) {
		solve();
	}

	return 0;
}

p2002

题意：

n个城市m条有向边，问从至少几个城市开始扩散消息能够把消息全部扩散。

思路：

很裸的缩点题，tarjan缩点之后统计入度为零的点就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
	
const int N = 1e5 + 5;

vector<int>e[N];
int dfn[N], low[N], tot;
int stk[N], instk[N], top;	// 栈的作用是记录正在访问的点
int scc[N], siz[N], cnt;	//最后的结果是scc[i] = k 记录第i个节点在第k个强连通分量里，大小是siz【k】
int in[N], out[N];

void tarjan(int x) {
	//入x时， 盖戳， 入栈
	dfn[x] = low[x] = ++tot;
	stk[++top] = x, instk[x] = 1;
	for (int y : e[x]) {
		if(!dfn[y]) {		//若y尚未访问
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);		//回x时更新low
		}
		else if(instk[y]) { //若y已访问且在栈中
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		}
		// 剩下已经访问并且不在栈中的情况是y已经被访问完，不在枚举
	}
	//离x时，记录scc
	if(dfn[x] == low[x]) { //若x是scc的根
		int y; ++cnt;
		do{		//陆续把强连通分量出栈
			y = stk[top--]; instk[y] = 0;
			scc[y] = cnt; //scc编号
			++siz[cnt];   //scc大小
		} while(y != x);
	}
} 

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int n, m;
	cin >> n >> m;


	for (int i = 0, u, v; i < m; i++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!dfn[i]) {
			tarjan(i);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (auto ne : e[i]) {
			if(scc[ne] != scc[i]) {
				in[scc[ne]]++;
				out[scc[i]]++;
			}
		}
	}

	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
		ans += (in[i] == 0);
	}

	cout << ans << endl;
	return 0;
}

p2194

题意：

火烧情侣，回路的费用是一个点，其他的是相加，问费用最小。

思路：

用tarjan求强连通分量，把每个强连通分量的minm和cnt找出来，minm相加，cnt相乘取模就是答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
#define int long long
int mod = 1000000007;

vector<int>e[N];
int dfn[N], low[N], tot;
int stk[N], instk[N], top;	// 栈的作用是记录正在访问的点
int scc[N], siz[N], cnt;	//最后的结果是scc[i] = k 记录第i个节点在第k个强连通分量里，大小是siz【k】
int cost[N];
int ans = 0, num = 1;
void tarjan(int x) {
	//入x时， 盖戳， 入栈
	dfn[x] = low[x] = ++tot;
	stk[++top] = x, instk[x] = 1;
	for (int y : e[x]) {
		if(!dfn[y]) {		//若y尚未访问
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);		//回x时更新low
		}
		else if(instk[y]) { //若y已访问且在栈中
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		}
		// 剩下已经访问并且不在栈中的情况是y已经被访问完，不在枚举
	}
	//离x时，记录scc
	if(dfn[x] == low[x]) { //若x是scc的根
		int minm = 1000000000, t = 0;
		int y; ++cnt;
		do{		//陆续把强连通分量出栈
			y = stk[top--]; instk[y] = 0;
			if(cost[y] < minm) {
				t = 1;
				minm = cost[y];
			}
			else if(cost[y] == minm) {
				t++;
			}
			scc[y] = cnt; //scc编号
			++siz[cnt];   //scc大小
		} while(y != x);
		ans += minm;
		num = (num * t) % mod;
	}
} 

void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> cost[i];
	}

	int m;
	cin >> m;
	for (int i = 0, u, v; i < m; i++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!dfn[i]) {
			tarjan(i);
		}
	}

	cout << ans << " " << num << endl;
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int T = 1; 
	while(T--) {
		solve();
	}

	return 0;
}

luogu p2341

题意：

n个点，m条边的有向图，有向边 u -> v 表示u喜欢v，喜欢可以传递，找出被所有牛喜欢的牛的个数。

思路：

缩点，如果是环就相互喜欢，根据传递性可以表示成一个点，然后统计出度为0的强连通分量的个数，如果是1个，输出这个强连通分量的大小，反之输出0.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e5 + 5;

vector<int>e[N];
int dfn[N], low[N], tot;
int stk[N], instk[N], top;	// 栈的作用是记录正在访问的点
int scc[N], siz[N], cnt;	//最后的结果是scc[i] = k 记录第i个节点在第k个强连通分量里，大小是siz【k】
int in[N], out[N];

void tarjan(int x) {
	//入x时， 盖戳， 入栈
	dfn[x] = low[x] = ++tot;
	stk[++top] = x, instk[x] = 1;
	for (int y : e[x]) {
		if(!dfn[y]) {		//若y尚未访问
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);		//回x时更新low
		}
		else if(instk[y]) { //若y已访问且在栈中
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		}
		// 剩下已经访问并且不在栈中的情况是y已经被访问完，不在枚举
	}
	//离x时，记录scc
	if(dfn[x] == low[x]) { //若x是scc的根
		int y; ++cnt;
		do{		//陆续把强连通分量出栈
			y = stk[top--]; instk[y] = 0;
			scc[y] = cnt; //scc编号
			++siz[cnt];   //scc大小
		} while(y != x);
	}
} 

void solve() {
	int n;
	cin >> n;

	int m;
	cin >> m;

	for (int i = 0, u, v; i < m; i++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!dfn[i]) {
			tarjan(i);
		}
	}

	map<pair<int, int>, bool>mp;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (auto it : e[i]) {
			if(scc[i] != scc[it]) {
				in[scc[it]] ++;
				out[scc[i]] ++;
			}
		}
	}

	vector<int>v;
	
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
		if(!out[i]) {
			v.push_back(i);
		}
	}

	if(v.size() == 1) {
		cout << siz[v[0]] << endl;
	}
	else {
		cout << 0 << endl;
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int T = 1; 
	while(T--) {
		solve();
	}

	return 0;
}

p2746

和p2812一样的体型，魔改了一下题意而已。