状压 dp 枚举子集原理

for(int S1=S;S1!=0;S1=(S1-1)&S){
    S2=S^S1;
}

其中 $S1$ 就是我们枚举得到的子集，$S2$ 是 $S1$ 在 $S$ 内的补集，即 $S1∪S2=S$。

赘述如下：

现在来讲一讲为什么是这样的一个枚举方法，先让我们来举一个例子来模拟一下。

假设我们当前要枚举的是 $(10110)2$ 的子集（子集仍然用 $S1$ 表示）：

$S1=(10110)2−>(10100)2−>(10010)2−>(10000)2−>(110)2−>(100)2−>(10)2$

根据例子，我们发现按照上面代码得到的结果是正确的，并且是把子集按照从大到小的顺序枚举出来的。
那么接下来我们来谈谈这样枚举的正确性。

首先，一个集合它自己本身也是自己的一个集合，所以我们从这个集合本身开始枚举。

既然是枚举，那我们就先考虑把当前枚举得到的子集先 $-1$，但是这样做不能保证−1后得到的状态是原状态的子集，

但是我们注意到：根据与运算&的性质，我们不难发现如果两个数 $a，b，a<b$，我们对这两个数进行&运算，最后的结果一定是b的子集，因为我们与运算&得到的结果，在二进制中出现 $1$ 的位， $b$ 中一定也是1。

现在已经说明了这样做确实得到了原集合的子集，但是还没有说明我们已经枚举完了原集合的子集。

其实枚举子集就相当于在原集合的二进制状态下把一些 $1$ 换为 $0$，

而我们每次 $−1$ 然后进行与运算其实就是在把当前子集的最右边的1的右边全部变为 $1$，自己变为 $0$，

然后进行与运算把新增的1中不该出现的抹去，最后只剩下了原集合中存在的 $1$ 了。