【BZOJ3456】轩辕朗的城市规划 无向连通图计数 CDQ分治 FFT 多项式求逆 多项式ln
题解
分治FFT
设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数，\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数
经过简单的推导（枚举\(1\)所在的连通块大小），有：
\[f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}}
\]
\[\begin{align}
g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\
&=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-j}}{(i-j)!}
\end{align}
\]
用CDQ分治+FFT优化。
就是每次先求出\(g_l\cdots g_{mid+1}\)，然后卷上\(f_1\cdots f_{len}\)，加到\(g_{mid+1}\cdots g_r\)上面去。
时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)
多项式求逆
\[\begin{align}
f_i&=\sum_{j=1}^n\binom{i-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\
\frac{f_i}{(i-1)!}&=\sum_{j=1}^n\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-j}}{(i-j)!}
\end{align}
\]
设
\[\begin{align}
A&=\sum_{i\geq 1}\frac{f_i}{(i-1)!}x^i\\
B&=\sum_{i\geq 1}\frac{g_i}{(i-1)!}x^i\\
C&=\sum_{i\geq 0}\frac{f_i}{i!}x^i
\end{align}
\]
所以
\[\begin{align}
A&=B\times C~~~~~~(mod~x^{n+1})\\
B&=A\times C^{-1}~~(mod~x^{n+1})
\end{align}
\]
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
多项式求ln
设
\[\begin{align}
G(x)&=\sum_{i\geq 0}\frac{2^{\binom{i}{2}}}{i!}x^i\\
F(x)&=\sum_{i\geq 0}\frac{f_i}{i!}x^i
\end{align}
\]
根据指数生成函数和有标号计数的那套理论，
由\(0\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^0}{0!}\)；
由\(1\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^1}{1!}\)；
由\(2\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^2}{2!}\)；
\(\vdots\)
这些加起来就是无向图的个数\(G(x)\)
所以
\[\begin{align}
G(x)&=\frac{{F(x)}^0}{0!}+\frac{{F(x)}^1}{1!}+\frac{{F(x)}^2}{2!}+\frac{{F(x)}^3}{3!}+\cdots\\
&=\sum_{i\geq 0}\frac{{F(x)}^i}{i!}\\
&=e^{F(x)}\\
F(x)&=\ln(G(x))
\end{align}
\]
直接求ln即可。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
代码
分治FFT
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
while(b)
{
if(b&1)
s=s*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return s;
}
ll inv(ll x)
{
return fp(x,p-2);
}
namespace ntt
{
ll w1[300010];
ll w2[300010];
int rev[300010];
int n;
void init(int m)
{
n=1;
while(n<=m)
n<<=1;
int i;
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
w2[i]=inv(w1[i]);
}
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
void ntt(ll *a,int t)
{
int i,j,k;
ll u,v,w,wn;
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
w=w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
u=inv(n);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*u%p;
}
}
};
ll a[300010];
ll b[300010];
ll fac[300010];
ll invfac[300010];
ll in[300010];
ll f[300010];
ll g[300010];
void solve(int l,int r)
{
if(l==r)
{
g[l]=(f[l]-fac[l-1]*g[l]%p+p)%p;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);
int len=r-l+1;
ntt::init(len);
int i;
a[0]=b[0]=0;
if(l==3&&r==4)
int x=1;
if(l==1&&r==4)
int x=1;
for(i=1;i<=mid-l+1;i++)
a[i]=g[i+l-1]*invfac[i+l-1-1]%p;
for(i=mid-l+1+1;i<ntt::n;i++)
a[i]=0;
for(i=1;i<=len;i++)
b[i]=f[i]*invfac[i]%p;
for(i=len+1;i<ntt::n;i++)
b[i]=0;
ntt::ntt(a,1);
ntt::ntt(b,1);
for(i=0;i<ntt::n;i++)
a[i]=a[i]*b[i]%p;
ntt::ntt(a,-1);
for(i=mid+1;i<=r;i++)
g[i]=(g[i]+a[i-l+1])%p;
solve(mid+1,r);
// fprintf(stderr,"%d %d\n",l,r);
}
int main()
{
// freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
// freopen("bzoj3456.out","w",stdout);
int n;
scanf("%d",&n);
invfac[0]=fac[0]=1;
int i;
in[0]=in[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
in[i]=(-(p/i)*in[p%i]%p+p)%p;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
invfac[i]=invfac[i-1]*in[i]%p;
}
for(i=1;i<=n;i++)
f[i]=fp(2,(ll(i)*(i-1)/2)%(p-1));
memset(g,0,sizeof g);
solve(1,n);
printf("%lld\n",g[n]);
return 0;
}
多项式求逆
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll g=3;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
while(b)
{
if(b&1)
s=s*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return s;
}
namespace ntt
{
ll w1[300010];
ll w2[300010];
int rev[300010];
int n;
void init(int m)
{
n=1;
while(n<m)
n<<=1;
int i;
for(i=2;i<=n;i++)
{
w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
w2[i]=fp(w1[i],p-2);
}
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
void ntt(ll *a,int t)
{
int i,j,k;
ll u,v,w,wn;
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
w=w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
u=fp(n,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*u%p;
}
}
ll x[300010];
ll y[300010];
void copy_clear(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=b[i];
for(i=m;i<n;i++)
a[i]=0;
}
void copy(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=b[i];
}
void inverse(ll *a,ll *b,int m)
{
if(m==1)
{
b[0]=fp(a[0],p-2);
return;
}
inverse(a,b,m>>1);
init(2*m);
copy_clear(x,a,m);
copy_clear(y,b,m>>1);
ntt(x,1);
ntt(y,1);
int i;
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=(2*y[i]%p-x[i]*y[i]%p*y[i]%p+p)%p;
ntt(x,-1);
copy(b,x,m);
}
};
ll a[300010];
ll b[300010];
ll c[300010];
ll fac[300010];
int main()
{
// freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
fac[0]=1;
int m=1;
while(m<=2*n)
m<<=1;
for(i=1;i<=n;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
a[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=fp(2,(ll(i-1)*i/2)%(p-1))*fp(fac[i-1],p-2)%p;
b[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
b[i]=fp(2,(ll(i-1)*i/2)%(p-1))*fp(fac[i],p-2)%p;
ntt::inverse(b,c,m>>1);
for(i=n+1;i<m;i++)
c[i]=0;
ntt::init(m);
ntt::ntt(a,1);
ntt::ntt(c,1);
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=a[i]*c[i]%p;
ntt::ntt(a,-1);
printf("%d\n",a[n]*fac[n-1]%p);
return 0;
}
多项式ln
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
const ll p=1004535809;
const ll g=3;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
while(b)
{
if(b&1)
s=s*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return s;
}
const int maxn=600000;
ll inv[maxn];
namespace ntt
{
ll w1[maxn];
ll w2[maxn];
int rev[maxn];
int n;
void init(int m)
{
n=1;
while(n<m)
n<<=1;
int i;
for(i=2;i<=n;i++)
{
w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
w2[i]=fp(w1[i],p-2);
}
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
void ntt(ll *a,int t)
{
int i,j,k;
ll u,v,w,wn;
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v)%p;
w=w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
u=fp(n,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*u%p;
}
}
ll x[maxn];
ll y[maxn];
void copy_clear(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=b[i];
for(i=m;i<n;i++)
a[i]=0;
}
void copy(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=b[i];
}
void inverse(ll *a,ll *b,int m)
{
if(m==1)
{
b[0]=fp(a[0],p-2);
return;
}
inverse(a,b,m>>1);
init(m<<1);
copy_clear(x,a,m);
copy_clear(y,b,m>>1);
ntt(x,1);
ntt(y,1);
int i;
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=(2*y[i]-x[i]*y[i]%p*y[i])%p;
ntt(x,-1);
copy(b,x,m);
}
void integrate(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=0;i<m-1;i++)
b[i]=(i+1)*a[i+1]%p;
b[m-1]=0;
}
void differential(ll *a,ll *b,int m)
{
int i;
for(i=m-1;i>=1;i--)
b[i]=a[i-1]*inv[i]%p;
b[0]=0;
}
void ln(ll *a,ll *b,int m)
{
static ll c[maxn],d[maxn],e[maxn];
integrate(a,c,m);
inverse(a,d,m);
init(m<<1);
ntt(c,1);
ntt(d,1);
int i;
for(i=0;i<n;i++)
e[i]=c[i]*d[i];
ntt(e,-1);
differential(e,b,m);
}
void exp(ll *a,ll *b,int m)
{
if(m==1)
{
b[0]=1;
return;
}
exp(a,b,m>>1);
int i;
for(i=m>>1;i<m;i++)
b[i]=0;
ln(b,y,m);
init(m<<1);
copy_clear(x,a,m);
x[0]++;
for(i=0;i<m;i++)
x[i]=(x[i]-y[i])%p;
copy_clear(y,b,m);
ntt(x,1);
ntt(y,1);
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=x[i]*y[i]%p;
ntt(x,-1);
for(i=0;i<m;i++)
b[i]=x[i];
}
};
ll a[maxn];
ll b[maxn];
ll fac[maxn];
ll invfac[maxn];
int main()
{
open("bzoj3456");
int i,n;
scanf("%d",&n);
int m=1;
while(m<=n+1)
m<<=1;
inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=invfac[0]=invfac[1]=1;
for(i=2;i<m;i++)
{
inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%p;
}
for(i=0;i<m;i++)
a[i]=fp(2,(ll(i)*(i-1)/2)%(p-1))*invfac[i]%p;
ntt::ln(a,b,m);
ll ans=(b[n]*fac[n]%p+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
