扩展欧拉定理

扩展欧拉定理

\[ a^b\equiv \begin{cases} &a^{b\%\varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ &a^b &\gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ &a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}\pmod p \]

  证明转载自http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

  1. 在\(a\)\(0\)次,\(1\)次,...,\(b\)次幂模\(m\)的序列中,前\(r\)个数(\(a^0\)\(a^{r-1}\))互不相同,从第\(r\)个数开始,每\(s\)个数就循环一次。

  证明:由鸽巢定理易证。

  我们把\(r\)称为\(a\)幂次模\(m\)的循环起始点,\(s\)称为循环长度。(注意:\(r\)可以为\(0\)

  用公式表述为:\(a^r\equiv a^{r+s}\pmod m\)

  2. \(a\)为素数的情况

  令\(m=p^rm'\),则\(\gcd(p,m')=1\),所以\(p^{\varphi(m')}\equiv 1\pmod {m'}\)

  又由于\(\gcd(p^r,m')=1\),所以\(\varphi(m')|\phi(m)\),所以\(p^{\phi(m)}\equiv1\pmod {m'}\)

  即\(p^{\varphi(m)}=km'+1\),两边同时乘以\(p^r\),得\(p^{r+\varphi(m)}=km+p^r\)(因为\(m=p^rm'\)

  所以\(p^r\equiv p^{r+s}\pmod m\),这里\(s=\varphi(m)\)

  3. 推论:\(p^b\equiv p^{r+(b-r)\%\varphi(m)}\pmod m\)

  4. 又由于\(m=p^rm'\),所以\(\varphi(m)\geq \varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\geq r\)

  所以\(p^r\equiv p^{r+\varphi(m)}\equiv p^{r\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)

  所以\(p^b\equiv p^{r+(b-r)\%\varphi(m)}\equiv p^{r\%\varphi(m)+\varphi(m)+(b-r)\%\varphi(m)}\equiv p^{\varphi(m)+b\%\varphi(m)}\pmod m\)

  即\(p^b\equiv p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)

  5. \(a\)为素数的幂的情况

  是否依然有\(a^{r'}\equiv a^{r'+s'}\pmod m\)?(其中\(s'=\varphi(m),a=p^k\))

  答案是肯定的,由2知\(p^s\equiv 1\pmod m'\),所以\(p^{s\times \frac{k}{\gcd(s,k)}}\equiv 1\pmod {m'}\),所以当\(s'=\frac{s}{\gcd(s,k)}\)时才能有\(p^{s'k}\equiv 1\pmod {m'}\),此时\(s'|s|\varphi(m)\),且\(r'=\lceil \frac{r}{k} \rceil\leq r\leq \varphi(m)\)

  由\(r',s'\)\(\varphi(m)\)的关系,依然可以得到\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)

  6. \(a\)为合数的情况

  只证\(a\)拆成两个素数的幂的情况,大于两个的用数学归纳法可证。

  设\(a=a_1a_2,a_i={p_i}^{k_i}\)\(a_i\)的循环长度为\(s_i\)

  则\(s|lcm(s1,s2)\),由于\(s1|\varphi(m),s2|\varphi(m)\),那么\(lcm(s1,s2)|\varphi(m)\),所以\(s|\varphi(m)\)

  \(r=max(\lceil \frac{ri}{ki} \rceil)\leq max(ri)\leq\varphi(m)\)

  由\(r,s\)\(\varphi(m)\)的关系,依然可以得到\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)

  证毕。

posted @ 2018-03-05 19:59 ywwyww 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏