【SEERC2018A】【XSY3319】Numbers

给你一个数 \(n\)，求有多少种方案能把 \(n\) 分成两个非零回文数 \((a,b)\) 之和。

　　两个方案不同当且仅当 \(a_1\neq a_2\)。

　　\(n\leq {10}^{18}\)

题解

　　枚举那些位进了位，然后分两种情况讨论：

　　1.两个回文数位数相等。可以直接计算方案数。

　　2.两个回文数位数不相等。可以枚举位数，构造方程，然后解出来。例如，记第一个回文数为 \((a_4a_3a_2a_1)_{10}\)，第二个回文数为 \((b_3b_2b_1)_{10}\)，\(n=(c_4c_3c_2c_1)_{10}\)。构造的方程为：

\[\begin{cases} a_4&=c_4\\ a_3+b_3&=c_3\\ a_2+b_2&=c_2\\ a_1+b_1&=c_1\\ a_4&=a_1\\ a_3&=a_2\\ b_3&=b_1\\ \end{cases} \]

　　记 \(m=\log_{10}n\)。

　　复杂度为 \(O(m^22^m)\)

　　如果你只枚举前面 \(\frac{m}{2}\) 位是否进位，可以做到 \(O(m^22^{\frac{m}{2}})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
ll ans;
int t,t2;
int a[100];
int b[100];
ll n;
void gao1()
{
	for(int i=1;i<=t2;i++)
		if(b[i]!=b[t2-i+1])
			return;
	ll res=1;
	for(int i=1;i<=(t2+1)/2;i++)
		res*=min(9,(i==1?b[i]-1:b[i]))-max(b[i]-9,(i==1?1:0))+1;
	ans+=res;
}
int a1[100],a2[100];
void gao2()
{
	for(int i=1;i<t2;i++)
	{
		for(int j=1;j<=t2;j++)
			a1[j]=a2[j]=0;
		for(int j=t2;j>i;j--)
			if(!a1[j])
			{
				int x=j;
				int v=b[j];
				while(!a1[x])
				{
					a1[x]=v;
					x=t2-x+1;
					a1[x]=v;
					if(a2[x])
						break;
					if(x>i)
						break;
					a2[x]=v=b[x]-a1[x];
					x=i-x+1;
					a2[x]=v;
					v=b[x]-a2[x];
				}
			}
		int flag=1;
		for(int j=1;flag&&j<=t2;j++)
			if(a1[j]<0||a1[j]>9||a1[j]+a2[j]!=b[j]||a1[t2-j+1]!=a1[j])
				flag=0;
		for(int j=1;flag&&j<=i;j++)
			if(a2[j]<0||a2[j]>9||a2[j]!=a2[i-j+1])
				flag=0;
		if(a2[i]==0)
			flag=0;
		if(flag)
			ans+=2;
	}
}
int main()
{
	open("number");
	scanf("%lld",&n);
	ll m=n;
	while(m)
	{
		a[++t]=m%10;
		m/=10;
	}
	for(int i=0;i<1<<(t-1);i++)
	{
		for(int j=1;j<=t;j++)
			b[j]=a[j];
		for(int j=1;j<=t;j++)
			if((i>>(j-1))&1)
			{
				b[j]+=10;
				b[j+1]--;
			}
		int flag=1;
		for(int j=1;j<=t;j++)
			if(b[j]<0||b[j]>18)
			{
				flag=0;
				break;
			}
		if(!flag)
			continue;
		t2=t;
		while(!b[t2])
			t2--;
		gao1();
		gao2();
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}