【SEERC2018A】【XSY3319】Numbers

给你一个数 \(n\),求有多少种方案能把 \(n\) 分成两个非零回文数 \((a,b)\) 之和。

  两个方案不同当且仅当 \(a_1\neq a_2\)

  \(n\leq {10}^{18}\)

题解

  枚举那些位进了位,然后分两种情况讨论:

  1.两个回文数位数相等。可以直接计算方案数。

  2.两个回文数位数不相等。可以枚举位数,构造方程,然后解出来。例如,记第一个回文数为 \((a_4a_3a_2a_1)_{10}\),第二个回文数为 \((b_3b_2b_1)_{10}\)\(n=(c_4c_3c_2c_1)_{10}\)。构造的方程为:
\[ \begin{cases} a_4&=c_4\\ a_3+b_3&=c_3\\ a_2+b_2&=c_2\\ a_1+b_1&=c_1\\ a_4&=a_1\\ a_3&=a_2\\ b_3&=b_1\\ \end{cases} \]
  记 \(m=\log_{10}n\)

  复杂度为 \(O(m^22^m)\)

  如果你只枚举前面 \(\frac{m}{2}\) 位是否进位,可以做到 \(O(m^22^{\frac{m}{2}})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
ll ans;
int t,t2;
int a[100];
int b[100];
ll n;
void gao1()
{
    for(int i=1;i<=t2;i++)
        if(b[i]!=b[t2-i+1])
            return;
    ll res=1;
    for(int i=1;i<=(t2+1)/2;i++)
        res*=min(9,(i==1?b[i]-1:b[i]))-max(b[i]-9,(i==1?1:0))+1;
    ans+=res;
}
int a1[100],a2[100];
void gao2()
{
    for(int i=1;i<t2;i++)
    {
        for(int j=1;j<=t2;j++)
            a1[j]=a2[j]=0;
        for(int j=t2;j>i;j--)
            if(!a1[j])
            {
                int x=j;
                int v=b[j];
                while(!a1[x])
                {
                    a1[x]=v;
                    x=t2-x+1;
                    a1[x]=v;
                    if(a2[x])
                        break;
                    if(x>i)
                        break;
                    a2[x]=v=b[x]-a1[x];
                    x=i-x+1;
                    a2[x]=v;
                    v=b[x]-a2[x];
                }
            }
        int flag=1;
        for(int j=1;flag&&j<=t2;j++)
            if(a1[j]<0||a1[j]>9||a1[j]+a2[j]!=b[j]||a1[t2-j+1]!=a1[j])
                flag=0;
        for(int j=1;flag&&j<=i;j++)
            if(a2[j]<0||a2[j]>9||a2[j]!=a2[i-j+1])
                flag=0;
        if(a2[i]==0)
            flag=0;
        if(flag)
            ans+=2;
    }
}
int main()
{
    open("number");
    scanf("%lld",&n);
    ll m=n;
    while(m)
    {
        a[++t]=m%10;
        m/=10;
    }
    for(int i=0;i<1<<(t-1);i++)
    {
        for(int j=1;j<=t;j++)
            b[j]=a[j];
        for(int j=1;j<=t;j++)
            if((i>>(j-1))&1)
            {
                b[j]+=10;
                b[j+1]--;
            }
        int flag=1;
        for(int j=1;j<=t;j++)
            if(b[j]<0||b[j]>18)
            {
                flag=0;
                break;
            }
        if(!flag)
            continue;
        t2=t;
        while(!b[t2])
            t2--;
        gao1();
        gao2();
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
posted @ 2019-01-08 20:14 ywwyww 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏