【XSY3309】Dreamweaver 高斯消元 拉格朗日插值

题目大意

  这是一道通信题。

  给你 \(8\)\(32\) 位整数。加密端要把这些数加密成至少 \(1000\)\(32\) 位整数,交互库会把这些整数随机打乱后发给解密端,解密端最多能获得其中 \(lim\) 个的值,解密端要按顺序给出这 \(8\) 个整数。

  交互库会测试 \(100\) 次。

  对于 \(lim\geq 50\) 的测试点,要求 \(100\%\) 的正确率。

  对于 \(lim\geq 20\) 的测试点,要求 \(90\%\) 的正确率。

  对于 \(lim\geq 17\) 的测试点,要求 \(50\%\) 的正确率。

题解

解法一

  先把这些数拆成 \(16\)\(16\) 位整数。

  然后每次随机选一些数异或到一起,前 \(16\) 位为这些数的异或值,后 \(16\) 位为选了那些数。

  解密端随机 \(lim\) 个数,求出这些数能不能解出原来的 \(16\) 个数。

  如果 \(lim\times 16\) 的矩阵满秩就能求出。

  \(17\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(58\%\)

  \(20\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(94\%\)

  \(50\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(100\%\)

解法二

  还是先把这些数拆成 \(16\)\(16\) 位整数,记为 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)

  记 \(f(x)=\sum_{i=0}^{15}a_ix^i\)

  取一个合适大小的整数 \(p\)

  对于 \(0\leq i<1000\),返回 \(i+(f(i)\bmod p)\times 1000\)

  解密端随便选 \(16\) 个数就能插值插出 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)

  正确率为 \(100\%\)

代码

解法一

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]|=1<<(i+16);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        unsigned s=0;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if((i>>j)&1)
                s^=a[j];
        vec.push_back(s);
    }
    return vec;
}
static unsigned seed=1932532;
static unsigned get()
{
    seed^=seed<<13;
    seed^=seed>>17;
    seed^=seed<<5;
    return seed;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[1000000],c[1000000];
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
        c[i]=i;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        int y=get()%(i+1);
        if(y!=i)
            swap(c[i],c[y]);
    }
    for(int i=0;i<lim;i++)
        b[i]=arr(c[i]);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        int x=lim;
        for(int j=i;j<lim;j++)
            if(b[j]&(1<<(16+i)))
            {
                x=j;
                break;
            }
        if(x>=lim)
        {
            for(int i=0;i<8;i++)
                vec.push_back(0);
            return vec;
        }
        if(x!=i)
            swap(b[x],b[i]);
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if(j!=i&&(b[j]&(1<<(16+i))))
                b[j]^=b[i];
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        b[i]&=(1<<16)-1;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((b[i*2+1]<<16)|b[i*2]);
    return vec;
}

解法二

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
static const ll p=100003;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    vector<int> vec;
    for(int i=0;i<1000;i++)
    {
        ll s=0;
        for(int j=15;j>=0;j--)
            s=(s*i+a[j])%p;
        vec.push_back(i+s*1000);
    }
    return vec;
}
static ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[100];
    static ll x[1000],y[1000],ans[1000],e[1000];
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        b[i]=arr(i);
        x[i]=b[i]%1000;
        y[i]=b[i]/1000;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        ans[i]=0;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        for(int j=0;j<16;j++)
            e[j]=0;
        e[0]=1;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
            {
                for(int k=15;k>=0;k--)
                {
                    e[k+1]=(e[k+1]+e[k])%p;
                    e[k]=-e[k]*x[j]%p;
                }
            }
        ll s=y[i];
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
                s=s*fp(x[i]-x[j],p-2)%p;
        for(int j=0;j<16;j++)
        {
            e[j]=e[j]*s%p;
            ans[j]=(ans[j]+e[j])%p;
        }
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=(ans[i]+p)%p;
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((a[i*2+1]<<16)|a[i*2]);
    return vec;
}
posted @ 2019-01-05 21:21 ywwyww 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏