【XSY3309】Dreamweaver 高斯消元 拉格朗日插值
题目大意
这是一道通信题。
给你 \(8\) 个 \(32\) 位整数。加密端要把这些数加密成至少 \(1000\) 个 \(32\) 位整数，交互库会把这些整数随机打乱后发给解密端，解密端最多能获得其中 \(lim\) 个的值，解密端要按顺序给出这 \(8\) 个整数。
交互库会测试 \(100\) 次。
对于 \(lim\geq 50\) 的测试点，要求 \(100\%\) 的正确率。
对于 \(lim\geq 20\) 的测试点，要求 \(90\%\) 的正确率。
对于 \(lim\geq 17\) 的测试点，要求 \(50\%\) 的正确率。
题解
解法一
先把这些数拆成 \(16\) 个 \(16\) 位整数。
然后每次随机选一些数异或到一起，前 \(16\) 位为这些数的异或值，后 \(16\) 位为选了那些数。
解密端随机 \(lim\) 个数，求出这些数能不能解出原来的 \(16\) 个数。
如果 \(lim\times 16\) 的矩阵满秩就能求出。
\(17\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(58\%\)。
\(20\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(94\%\)。
\(50\times 16\) 的矩阵满秩的概率约为 \(100\%\)。
解法二
还是先把这些数拆成 \(16\) 个 \(16\) 位整数，记为 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)。
记 \(f(x)=\sum_{i=0}^{15}a_ix^i\)。
取一个合适大小的整数 \(p\)。
对于 \(0\leq i<1000\)，返回 \(i+(f(i)\bmod p)\times 1000\)。
解密端随便选 \(16\) 个数就能插值插出 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)。
正确率为 \(100\%\)。
代码
解法一
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
static unsigned a[100];
for(int i=0;i<16;i++)
a[i]=0;
for(int i=0;i<8;i++)
{
unsigned v=arr[i];
a[i*2]=v&((1<<16)-1);
a[i*2+1]=v>>16;
}
for(int i=0;i<16;i++)
a[i]|=1<<(i+16);
vector<int>vec;
for(int i=0;i<1<<16;i++)
{
unsigned s=0;
for(int j=0;j<16;j++)
if((i>>j)&1)
s^=a[j];
vec.push_back(s);
}
return vec;
}
static unsigned seed=1932532;
static unsigned get()
{
seed^=seed<<13;
seed^=seed>>17;
seed^=seed<<5;
return seed;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
static unsigned a[100],b[1000000],c[1000000];
for(int i=0;i<1<<16;i++)
c[i]=i;
for(int i=0;i<1<<16;i++)
{
int y=get()%(i+1);
if(y!=i)
swap(c[i],c[y]);
}
for(int i=0;i<lim;i++)
b[i]=arr(c[i]);
vector<int>vec;
for(int i=0;i<16;i++)
{
int x=lim;
for(int j=i;j<lim;j++)
if(b[j]&(1<<(16+i)))
{
x=j;
break;
}
if(x>=lim)
{
for(int i=0;i<8;i++)
vec.push_back(0);
return vec;
}
if(x!=i)
swap(b[x],b[i]);
for(int j=0;j<lim;j++)
if(j!=i&&(b[j]&(1<<(16+i))))
b[j]^=b[i];
}
for(int i=0;i<16;i++)
b[i]&=(1<<16)-1;
for(int i=0;i<8;i++)
vec.push_back((b[i*2+1]<<16)|b[i*2]);
return vec;
}
解法二
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
static const ll p=100003;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
static unsigned a[100];
for(int i=0;i<16;i++)
a[i]=0;
for(int i=0;i<8;i++)
{
unsigned v=arr[i];
a[i*2]=v&((1<<16)-1);
a[i*2+1]=v>>16;
}
vector<int> vec;
for(int i=0;i<1000;i++)
{
ll s=0;
for(int j=15;j>=0;j--)
s=(s*i+a[j])%p;
vec.push_back(i+s*1000);
}
return vec;
}
static ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
static unsigned a[100],b[100];
static ll x[1000],y[1000],ans[1000],e[1000];
for(int i=0;i<16;i++)
{
b[i]=arr(i);
x[i]=b[i]%1000;
y[i]=b[i]/1000;
}
for(int i=0;i<16;i++)
ans[i]=0;
for(int i=0;i<16;i++)
{
for(int j=0;j<16;j++)
e[j]=0;
e[0]=1;
for(int j=0;j<16;j++)
if(j!=i)
{
for(int k=15;k>=0;k--)
{
e[k+1]=(e[k+1]+e[k])%p;
e[k]=-e[k]*x[j]%p;
}
}
ll s=y[i];
for(int j=0;j<16;j++)
if(j!=i)
s=s*fp(x[i]-x[j],p-2)%p;
for(int j=0;j<16;j++)
{
e[j]=e[j]*s%p;
ans[j]=(ans[j]+e[j])%p;
}
}
for(int i=0;i<16;i++)
a[i]=(ans[i]+p)%p;
vector<int>vec;
for(int i=0;i<8;i++)
vec.push_back((a[i*2+1]<<16)|a[i*2]);
return vec;
}
