【XSY3344】连续段 DP 牛顿迭代 NTT
题目大意
对于一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，我们称一个区间 \([l,r]\) 是连续的当且仅当 \((\max_{l\leq i\leq r}a_i)-(\min_{l\leq i\leq r}a_i)=r-l\)。
对于两个排列 \(p_1,p_2\)，我们称这两个排列是等价的，当且仅当他们的长度相同且连续区间的集合相同。
给你 \(n\)，对于 \(1\leq i\leq n\)，所有求 \(i\) 阶排列形成的等价类个数对 \(p\) 取模的值。
\(n\leq 100000,p=k\times2^{18}+1,k\in \mathbb {N},p\) 是质数。
题解
对于一个区间 \([l,r]\)，如果这个区间的所有子区间都是连续的，就称这个区间为强连续区间。
每次我们找一个最大的强连续区间，把这个区间内所有点缩到一起。
如果找不到，就找一个最小的连续区间，把这个区间内所有点缩到一起。
这个过程就形成了一个树结构。
- 总共有 \(n\) 个叶子。
- 对于一个代表强连续区间的点，这个点的儿子个数 \(\geq 2\)。
- 对于一个代表连续区间的点，这个点的儿子个数 \(\geq 4\)。（可以发现，长度为 \(\leq 3\) 的序列是一定有强连续区间的。）
每一个排列 \(p\) 对应了一棵树。
对于一棵树，可以构造出一个排列 \(p\)。
那么就只用对这棵树计数了。
显然可以 \(O(n^2)\) DP。
记 \(f_i\) 为长度为 \(i\) 的排列的方案数，\(F(x)=\sum_{i\geq 0}f_ix^i\)，那么就有：
\[F(x)=\frac{(F(x)^2+F(x)^4)}{1-F(x)}+x
\]
用牛顿迭代法解这个方程即可。
\[(F(x)^2+F(x)^4)\frac{1}{1-F(x)}-F(x)+x=0\\
G(y)=(y^2+y^4)\frac{1}{1-y}-y+x\\
G'(y)=(2y+4y^3)\frac{1}{1-y}+(y^2+y^4)(-\frac{1}{(1-y)^2})(-1)-1\\
G(F(x))\equiv 0\pmod {x^n}\\
G(F(x))\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x)) \pmod {x^n}\\
F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\pmod {x^n}\\
\]
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=270000;
ll p,g;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
namespace ntt
{
const int W=262144;
int rev[N];
int *w[20];
void init()
{
ll s=fp(g,(p-1)/W);
w[18]=new int[1<<17];
w[18][0]=1;
for(int i=1;i<W/2;i++)
w[18][i]=w[18][i-1]*s%p;
for(int i=17;i>=1;i--)
{
w[i]=new int[1<<(i-1)];
for(int j=0;j<1<<(i-1);j++)
w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
}
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
if(rev[i]>i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
}
for(int i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l++)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<i/2;k++)
{
ll u=a[j+k];
ll v=a[j+k+i/2]*w[l][k];
a[j+k]=(u+v)%p;
a[j+k+i/2]=(u-v)%p;
}
if(t==-1)
{
reverse(a+1,a+n);
ll inv=fp(n,p-2);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv%p;
}
}
void add(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l)
{
static ll a1[N];
int k=max(n,m);
for(int i=0;i<=k;i++)
a1[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
a1[i]=(a1[i]+a[i])%p;
for(int i=0;i<=m;i++)
a1[i]=(a1[i]+b[i])%p;
for(int i=0;i<=l;i++)
c[i]=a1[i];
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l)
{
static ll a1[N],a2[N];
int k=1;
while(k<=n+m)
k<<=1;
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
a1[i]=a[i];
for(int i=0;i<=m;i++)
a2[i]=b[i];
ntt(a1,k,1);
ntt(a2,k,1);
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt(a1,k,-1);
for(int i=0;i<=l;i++)
c[i]=(a1[i]+p)%p;
}
void getinv(ll *a,ll *b,int n)
{
if(n==1)
{
b[0]=fp(a[0],p-2);
return;
}
getinv(a,b,n>>1);
static ll a1[N],a2[N];
for(int i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=a[i];
for(int i=0;i<n>>1;i++)
a2[i]=b[i];
ntt(a1,n<<1,1);
ntt(a2,n<<1,1);
for(int i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=a2[i]*(2-a1[i]*a2[i]%p)%p;
ntt(a1,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
b[i]=(a1[i]+p)%p;
}
}
int e[50],t;
int check(int x)
{
for(int i=1;i<=t;i++)
if(fp(x,(p-1)/e[i])==1)
return 0;
return 1;
}
void getg()
{
int _=p-1;
for(int i=2;i*i<=_;i++)
if(_%i==0)
{
e[++t]=i;
while(_%i==0)
_/=i;
}
if(_!=1)
e[++t]=_;
for(int i=1;;i++)
if(check(i))
{
g=i;
return;
}
}
void solve(ll *a,int n)
{
if(n==1)
return;
solve(a,n>>1);
static ll f1[N],f2[N],f3[N],f4[N],f5[N],a1[N],a2[N],a3[N],a4[N];
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=(p-a[i])%p;
a1[0]++;
for(int i=0;i<n;i++)
f1[i]=a[i];
ntt::ntt(f1,n<<1,1);
for(int i=0;i<n<<1;i++)
f2[i]=f1[i]*f1[i]%p;
ntt::ntt(f2,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
f4[i]=f2[i];
ntt::ntt(f4,n<<1,1);
for(int i=0;i<n<<1;i++)
f3[i]=f4[i]*f1[i]%p;
ntt::ntt(f3,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n<<1;i++)
f4[i]=f4[i]*f4[i]%p;
ntt::ntt(f4,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
f5[i]=f4[i];
ntt::ntt(f5,n<<1,1);
for(int i=0;i<n<<1;i++)
f5[i]=f5[i]*f1[i]%p;
ntt::ntt(f5,n<<1,-1);
for(int i=0;i<n;i++)
f1[i]=a[i];
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=(-f1[i]+3*f2[i]-2*f3[i]+f4[i]-f5[i])%p;
for(int i=1;i<n;i++)
a1[i]=(a1[i]-2*f1[i-1]+f2[i-1])%p;
a1[1]++;
for(int i=0;i<n;i++)
a2[i]=(4*f1[i]-2*f2[i]+4*f3[i]-3*f4[i])%p;
a2[0]--;
ntt::getinv(a2,a3,n);
ntt::mul(a1,a3,a4,n-1,n-1,n-1);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=(a[i]-a4[i]+p)%p;
}
int n;
ll s[N];
int main()
{
open("b");
scanf("%d%lld",&n,&p);
getg();
ntt::init();
int k=1;
while(k<=n)
k<<=1;
solve(s,k);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i]=(s[i]+p)%p;
printf("%lld\n",s[i]);
}
return 0;
}
