【集训队作业2018】取名字太难了 任意模数FFT

题目大意

  求多项式 \(\prod_{i=1}^n(x+i)\) 的系数在模 \(p\) 意义下的分布,对 \(998244353\) 取模。

  \(p\) 为质数。

  \(n\leq {10}^{18},p\leq 250000\)

题解

  我们只计算 \([1,p-1]\) 的分布,最后再算出 \(0\) 的出现次数。

  记 \(n1=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor,n2=n\bmod p\)。若 \(n\bmod p=p-1\),则 \(n1=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+1,n2=0\)
\[ \begin{align} &\prod_{i=0}^n(x+i)\\ =&x^{n1}\prod_{i=1}^{p-1}(x+i)^{n1}\prod_{i=1}^{n2}(x+i) \end{align} \]


  第一部分我们直接忽略。


  对于第二部分,\(\prod_{i=1}^{p-1}(x+i)=x^{p-1}-1\)(因为左右两边的根都是 \(1,2,\ldots,p-1\))。那么 \(x^i(p-1)\) 项的系数就是 \(\binom{n1}{i}{(-1)}^{n1-i}\)

  因为系数的模数为 \(p\),所以可以用 lucas 定理。

  \(\binom{x}{y}\equiv\prod_i\binom{x_i}{y_i}\pmod p\)

  假设 \(n1=(a_1a_2\ldots a_m)_p\)

  对每一位构造一个多项式 \(A(x)\)\(a_i\) 表示有多少种方案满足这一位的贡献是 \(i\)

  那么可以像数位DP一样,枚举 \(i\) 的前多少位和 \(n1\) 是相同的,然后求出后面的方案数。

  因为每一位都不能超过 \(a_i\),所以直接把每一位对应的多项式乘在一起就好了。

  这里的卷积稍微有点不同,\(a_i=\sum_{j}\sum_{k}[jk\bmod p=i]b_jc_k\),只需要把下标取离散对数就好了。

  不要忘记处理 \({(-1)}^{n1-i}\)

  复杂度为 \(O(p\log_pn\log p)=O(p\log n)\)


  对于第三部分,可以用倍增+任意模数FFT求出整个多项式。

  大概就是记 \(F(n,x)=\prod_{i=1}^n(x+i)\),那么 \(F(2n+1,x)=F(2n,x)(x+2n+1)\)\(F(2n,x)=F(n,x)F(n,x+n)\)

  记 \(F(n,x)=\sum_ia_ix^i\),那么 \(F(n,x+n)=\sum_ia_i(x+n)^i=\sum_ia_i\sum_{j\leq i}x^jn^{i-j}\binom{i}{j}=\sum_{i}x_i\sum_{j\geq i}a_jn^{j-i}\binom{j}{i}\),直接卷积即可。

  复杂度为 \(O(p\log p)\)


  由于第二部分的多项式形如 \(\sum_ia_ix^{i(p-1)}\),而第三部分的次数 \(<p-1\),所以两部分的乘积不互相干扰,可以分开求出后再合并到一起。

  总时间复杂度为 \(O(p(\log n+\log p))\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const ll p1=998244353;
const int N=530000;
const db pi=acos(-1);
ll fp(ll a,ll b,ll p)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
ll n,p,g;
ll n1,n2;
ll e1[N],e2[N];
namespace fft
{
    struct cp
    {
        db x,y;
        cp(db a=0,db b=0):x(a),y(b){}
    };
    cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
    cp operator /(cp a,int b){return cp(a.x/b,a.y/b);}
    cp muli(cp a){return cp(-a.y,a.x);}
    cp divi(cp a){return cp(a.y,-a.x);}
    cp conj(cp a){return cp(a.x,-a.y);}
    const int W=524288;
    cp w[N];
    int rev[N];
    void init()
    {
        for(int i=0;i<W/2;i++)
            w[i]=cp(cos(2*pi/W*i),sin(2*pi/W*i));
    }
    void fft(cp *a,int n,int t)
    {
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
            if(rev[i]>i)
                swap(a[i],a[rev[i]]);
        }
        for(int i=2;i<=n;i<<=1)
            for(int j=0;j<n;j+=i)
                for(int k=0;k<i/2;k++)
                {
                    cp u=a[j+k];
                    cp v=a[j+k+i/2]*w[W/i*k];
                    a[j+k]=u+v;
                    a[j+k+i/2]=u-v;
                }
        if(t==-1)
        {
            reverse(a+1,a+n);
            for(int i=0;i<n;i++)
                a[i]=a[i]/n;
        }
    }
    void fft(db *a,db *b,cp *c,cp *d,int n)
    {
        static cp a1[N],a2[N];
        for(int i=0;i<n;i++)
            a1[i]=cp(a[i],b[i]);
        fft(a1,n,1);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a2[i]=conj(a1[i]);
        reverse(a2+1,a2+n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            c[i]=(a1[i]+a2[i])/2;
            d[i]=divi(a1[i]-a2[i])/2;
        }
    }
    void ifft(db *a,db *b,cp *c,cp *d,int n)
    {
        static cp a1[N];
        for(int i=0;i<n;i++)
            a1[i]=c[i]+muli(d[i]);
        fft(a1,n,-1);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            a[i]=a1[i].x;
            b[i]=a1[i].y;
        }
    }
    void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l,ll p)
    {
        const static int M=1<<16;
        static db a1[N],a2[N],b1[N],b2[N],c1[N],c2[N],d1[N],d2[N];
        static cp a3[N],a4[N],b3[N],b4[N],c3[N],c4[N],d3[N],d4[N];
        int k=1;
        while(k<=n+m)
            k<<=1;
        for(int i=0;i<k;i++)
            a1[i]=a2[i]=b1[i]=b2[i]=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            a[i]=(a[i]+p)%p;
            a1[i]=a[i]/M;
            a2[i]=a[i]%M;
        }
        for(int i=0;i<=m;i++)
        {
            b[i]=(b[i]+p)%p;
            b1[i]=b[i]/M;
            b2[i]=b[i]%M;
        }
        fft(a1,a2,a3,a4,k);
        fft(b1,b2,b3,b4,k);
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            c3[i]=a3[i]*b3[i];
            c4[i]=a3[i]*b4[i];
            d3[i]=a4[i]*b3[i];
            d4[i]=a4[i]*b4[i];
        }
        ifft(c1,c2,c3,c4,k);
        ifft(d1,d2,d3,d4,k);
        for(int i=0;i<=l;i++)
            c[i]=((ll)(c1[i]+0.5)%p*M%p*M%p+(ll)(c2[i]+0.5)%p*M%p+(ll)(d1[i]+0.5)%p*M%p+(ll)(d2[i]+0.5)%p)%p;
    }
    void mul2(ll *a,ll *b,ll *c,int n,ll p)
    {
        static ll a1[N],a2[N],a3[N];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            a1[e2[i]]=a[i];
            a2[e2[i]]=b[i];
        }
        mul(a1,a2,a3,n-2,n-2,2*n-4,p);
        for(int i=1;i<n;i++)
            c[i]=0;
        for(int i=0;i<=2*n-4;i++)
            c[e1[i%(n-1)]]=(c[e1[i%(n-1)]]+a3[i])%p;
    }
}
ll inv[N],fac[N],ifac[N];
void init()
{
    inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)
    {
        inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
    }
}
ll binom(int x,int y)
{
    return x>=y&&y>=0?fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p:0;
}
int check()
{
    ll s=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        s=s*g%p;
        if(s==1)
        {
            if(i==p-1)
                return 1;
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}
void getg()
{
    for(g=1;;g++)
        if(check())
            break;
    e1[0]=1;
    for(int i=1;i<p-1;i++)
        e1[i]=e1[i-1]*g%p;
    for(int i=0;i<p-1;i++)
        e2[e1[i]]=i;
}
namespace gao1
{
    ll ans[N];
    ll s[N];
    void solve(int n)
    {
        if(!n)
        {
            s[0]=1;
            return;
        }
        if(n&1)
        {
            solve(n-1);
            for(int i=n-1;i>=0;i--)
            {
                s[i+1]=(s[i+1]+s[i])%p;
                s[i]=s[i]*n%p;
            }
        }
        else
        {
            solve(n>>1);
            static ll a1[N],a2[N],a3[N];
            for(int i=0;i<=n>>1;i++)
            {
                a1[i]=fp((n>>1),i,p)*ifac[i]%p;
                a2[i]=s[i]*fac[i]%p;
            }
            reverse(a2,a2+(n>>1)+1);
            fft::mul(a1,a2,a3,n>>1,n>>1,n>>1,p);
            reverse(a3,a3+(n>>1)+1);
            for(int i=0;i<=n>>1;i++)
                a3[i]=a3[i]*ifac[i]%p;
            fft::mul(s,a3,s,n>>1,n>>1,n,p);
        }
    }
    void gao()
    {
        solve(n2);
        for(int i=0;i<=n2;i++)
            if(s[i])
                ans[s[i]]++;
    }
}
namespace gao2
{
    ll ans[N];
    int a[N],t;
    ll s[N];
    int v[N];
    void gao()
    {
        static ll a1[N],a2[N];
        for(ll _=n1;_;)
        {
            a[++t]=_%p;
            _/=p;
        }
        ans[1]=1;
        for(int j=1;j<=t;j++)
        {
            v[j]=(p==2&&j>1?1:-1);
            for(int i=0;i<p;i++)
                a1[i]=0;
            for(int i=0;i<=a[j];i++)
                a1[(binom(a[j],i)*(i&1?v[j]:1)%p+p)%p]++;
            fft::mul2(ans,a1,a2,p,p1);
            for(int i=1;i<p;i++)
                ans[i]=a2[i];
        }
    }
}
ll ans[N];
int main()
{
    open("b");
    fft::init();
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    init();
    getg();
    n1=n/p,n2=n%p;
    if(n2==p-1)
    {
        n1++;
        n2=0;
    }
    gao1::gao();
    gao2::gao();
    fft::mul2(gao1::ans,gao2::ans,ans,p,p1);
    ans[0]=(n+1)%p1;
    for(int i=1;i<p;i++)
        ans[0]=(ans[0]-ans[i])%p1;
    for(int i=0;i<p;i++)
    {
        ans[i]=(ans[i]+p1)%p1;
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}
posted @ 2018-12-26 10:08 ywwyww 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏