【技巧】0/1最短路

这是 $Dijkstra$。

void dijkstra(int x)
{
	priority_queue<pair<int,int>>que;
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[x]=0;
	que.push({-d[x],x});
	while(!que.empty())
	{
		int y=que.top().second;
		que.pop();
		e[y]=true;
		for(ri i=f[y];i;i=way[i].h)
		{
			int z=way[i].to; 
			if(d[z]>d[y]+way[i].quan)
			{
				d[z]=d[y]+way[i].quan;
				if(!e[z])
				{
					que.push({-d[z],z});
				}
			}
		}
	}
}

时间复杂度 \(O(m\log n)\)。

这是SPFA。

void spfa(int x)
{
	queue<int>que;
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[x]=0;
	que.push(x);
	e[x]=true;
	while(!que.empty())
	{
		int y=que.front();
		que.pop();
		e[y]=false;
		for(int i=f[y];i;i=way[i].h)
		{
			z=way[i].to;
			if(d[z]<d[y]+way[i].quan)
			{
				d[z]=d[y]+way[i].quan;
				if(!e[z])
				{
					way.push(z);
					e[z]=true;
				}
			}
		}
	}
}

时间复杂度 \(O(m)\) ~ \(O(nm)\)。

但是，有时我们会遇到边权只有0和1&&数据范围很大的图，这种题的正解往往不是最短路，但是可以拿最短路骗一点分。而0/1最短路的发明，就是为了在这种情况下以更高的效率骗更多的分。
回忆一下 \(Dijkstra\) 为什么比 \(SPFA\) 多个 \(log\)，就是因为 \(Dijkstra\) 在维护单调性时使用的优先队列，其内部实现是二叉堆，复杂度 \(O(\log n)\)。但是现在由于只有0/1，故如果想要维护单调性，只需开个双端队列，将0的插到队头，1的插到队尾即可。
代码如下：

il void zerone(int x)
{
	deque<int>que;
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[x]=0;
	que.push_front(x);
	while(!que.empty())
	{
		int y=que.front();
		que.pop_front();
		e[y]=true;
		for(ri i=f[y];i;i=way[i].h)
		{
			int z=way[i].to;
			if(e[z])
			{
				continue;
			}
			d[z]=min(d[z],d[y]+way[i].quan);
			if(way[i].quan)
			{
				que.push_back(z);
			}
			else
			{
				que.push_front(z);
			}
		}
	}
}

理论复杂度 \(O(n)\)。
实际上，不只是0/1边权，只要是0和另一正边权的组合都可以如此实现。至于实际应用，自己瞎搞吧。