1. 快速幂、快速乘

快速幂

引题：现有两个整数m、n，求$m^n$除以1000000007之后的余数。
输入：输入整数m、n，用1个空格隔开，占1行。
输出：输出$m^n$除以1000000007之后的余数，占1行。
限制：$1<=m<=100$ ，$1<=n<=10^9$
输入示例：5 8
输出实例：390625

1. 解决算法复杂度问题

如果用最直接的方法求$x^n$，我们需要进行n-1吃乘法运算，算法复杂度为O(n)。
不过，x的幂乘可以利用$x^n=(x^2)^\frac{n}{2}$的性质，用反复平方法快速求出。
该算法可以通过下面的递归函数实现：
$pow(x,n)=\begin{cases}1&（n=0时）\\pow(x^2,n/2)&（n为偶数时）\\pow(x^2,n/2)*x&（n为奇数时）\end{cases}$

举个例子，$3^{21}$展开之后如下所示：

$3^{21}\\=(3*3)^{10}*3=9^{10}*3\\=(9*9)^5*3=81^5*3\\=(81*81)^2*81*3=6561^2*81*3\\=(6561*6561)^1*81*3$

这样的话乘法运算的次数就从20次减少到了6次。只要算3 * 3，9 * 9，81 * 81，6561 * 6561以及多出的 *81和 *3，这六次乘法运算就可以。

似乎根据上面的分析我们可以得出代码：

int power(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    while( b>0 ) 
    {
        if( b&1 ) ans = ans*a; //当b为奇数时，乘以余下的一个a
        b >>= 1;//位运算，右移1位，相当于除以2
        a = a*a;
    }
    return ans;
}

这样，递归函数的参数n逐次减半，因此算法复杂度为O(logn)。

2. 解决取模运算问题

在遇到“求某计算结果除以M（本题中式1000000007）之后的余数”这类题时，可以按下述方法计算（这里a除以b之后的余数记作a%b）。

1. 计算加法时，每相加一次执行一次%M
2. 计算减法时，给被减数加上M之后，先算减法，后算%M
3. 计算乘法时，每相乘一次执行一次%M

关于计算乘法时的公式：$(a*b)\%M=(a\%M)*(b\%M)$
证明：
设a除以M的余数和商分别为ar、aq，
b除以M的余数和商分别为br、bq，
即a/M=aq……ar，
b/M=bq……br，

则有：
$a*b\\=(aq*M+ar)*(bq*M+br)\\=aq*bq*M^2+ar*bq*M+aq*br*M+ar*br\\=(aq*bq*M+ar*bq+aq*br)*M+ar*br$
即易得：
$(a*b)\%M=ar*br=(a\%M)*(b\%M)$

类似可以得出：$(a*b)\%M=[(a\%M)*(b\%M)]\%M$
（引理1：积的取余等于取余的积的取余。）

公式：$a^b\%M=(a\%M)^b\%M$
证明：
$(a\%M)^b\%M\\= [(a*1)\%M]^b\%M\\=\{[(a\%M)*(1\%M)]\%M\}^b\%M\\=[(a\%M)\%M]^b\%M$
由上面公式迭代：
$[(a\%M)^b]\%M=a^b\%M$

因此，解决了上述两个问题，我们就可以实现快速幂的算法代码了：

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;

LL ksm(LL a,LL b)//快速幂
{
    LL ans = 1;
    a %= mod;
    while( b>0 )
    {
        if( b&1 ) ans = (ans*a)%mod;
        b >>= 1;//位运算，右移1位，相当于除以2
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

同理，易得快速乘的算法：
快速乘主要用于防止有两个较大的数相乘而直接乘爆, 因为是加法, 怎么都不可能加爆.，所以目的就是为了防止爆范围。

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;

LL ksc(LL a,LL b)//快速乘，计算a*b%mod
{
    LL ans = 0;
    a %= mod;
    while( b>0 )
    {
        if( b&1 ) ans = (ans+a)%mod;
        b >>= 1;//位运算，右移1位，相当于除以2
        a = (a+a)%mod;
    }
    return ans;
}