2025寒训：寒末上午（数学）Day 2

扩展中国剩余定理（可覆盖中国剩余定理）

\(x\equiv a_1\pmod{m_1}\)
\(x\equiv a_2\pmod{m_2}\)
\(\qquad\quad\ \ \vdots\)
\(x\equiv a_k\pmod{m_k}\)
设 \(\gcd(m_1,m_2)=d\)
方程有唯一解当 \(a_1\equiv a_2\pmod{d}\)
使用 \(exgcd\) 求解 \(m_1u_1+m_2u_2=d\)
则 \(x\equiv a_2\dfrac{m_1}{d}u_1+a_1\dfrac{m_2}{d}u_2\pmod{lcm}\)

扩展欧拉定理

当 \(a,m\in \mathbb{Z}\) 时有
\(\begin{align*}\begin{split}a^b\equiv \left \{\begin{array}{ll} a^b, & b<\varphi(m)\\ a^{b\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}, & b\geq\varphi(m)\end{array}\right.\end{split}\end{align*}\pmod{m}\)

BSGS 算法

求 \(a^x\equiv b\pmod{p}\)
其中 \(a\perp p\)
暴力枚举 \(x\)，复杂度 \(O(p)\)

取 \(t=\sqrt{p}\)，则有 \(x=i\times t-j\quad (0\le i\le t,0\le j<t)\)
\(a^{i\times t-j}\equiv b\pmod{p}\)
\(a^{i\times t}\equiv b\times a^j\pmod{p}\)
\((a^t)^i\equiv b\times a^j\pmod{p}\)
枚举 \(j\)，将 \(b\times a^j\) 放入哈希表中，再枚举 \(i\) 查询有无对应的 \(j\)
复杂度 \(O(\sqrt{p})\)

扩展 BSGS

求 \(a^x\equiv b\pmod{p}\)
令 \(g=\gcd(a,p)\)
方程变为 \(\frac{a}{g}\times a^{x-1}\equiv\frac{b}{g}\pmod{\frac{p}{g}}\)
重复这个过程直到 \(\gcd(a,p)=1\)，共得到了 \(k\) 个 \(g\)
令 \(u={\textstyle\prod_{i=1}^{k}}\frac{a}{g_{i}},v=\textstyle\prod_{i=1}^{k}g_{i}\)
发现 \(u\perp p\)，存在逆元
方程变为 \(a^{x-k}\times u\equiv\frac{b}{v}\pmod{\frac{p}{v}}\)
变为普通的 BSGS 算法

扩展卢卡斯定理

求 \(C^m_n\ \text{mod}\ p\)
将 \(p\) 分解为 \(p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_n^{c_n}\)
将阶乘中的 \(p\) 分离出来，得 \(\frac{m!}{n!(m-n)!}\ \text{mod}\ p^c=\frac{\frac{m!}{p_i}}{\frac{n!}{p^j}\frac{(m-n)!}{p^k}}\cdot p^{i-j-k}\ \text{mod}\ p^c\)
可以逆元处理
剩下的部分暴力枚举即可