质数
参考文献：《信息奥赛一本通》，《算法竞赛指南》
简单概述？
首先我们都知道，质数是一个正整数，无法被除了1和它自身之外的任何自然数整除，若不满足，则这个正整数为合数。
算术基本定理：
每一个大于1的正整数都可以唯一分解成有限个质数的乘积，如：
5=1*5 6=2*3 18=2*2*3 .......
质数分布定理：
（说实话这个我还没搞懂，等我搞懂再来补充）
质数判定：
试除法
若一个正整数A为合数，则必定存在一个能整除A的数T，其中2 <= T <= sqrt(A);
证明：我们可以用·反证法· ，即假设以上的结论不成立，则必定存在T满足sqrt(A)+1 <= T <= A-1；
因为 A / T == K，且T整除A，则K也一定整除A，但是K一定在2 <= K <=sqrt(A)中，所以假设不成立，原命题成立。(sqrt 为开根号）
根据这个定理我们可以发现，只要扫描从2到sqrt(A)间所有整数是否整除A，可以就为合数，否则为质数。
代码如下(时间复杂度为 O(sqrt(N)) )
bool is_prime(long n){
for(long i=2;i<=sqrt(n);i++)
if (n%i==0) return 0;
return 1;
}
当然我们可以用“Miller-Robbin”，多次判定出错率接近0，在这里就不介绍了。
质数的筛选
No.1 Eratosthenes 筛法 （简称埃氏筛）
它的思想是，只要是质数的倍数就一定不是质数， 因为质数的倍数它一定可以表示成某个质数*倍数形式，不满足质数的定义。
操作：从小到大枚举每一个质数，但只要是质数的倍数就全部标记成非质数,整数1特殊处理。
例如过程如下：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
但是事实上6 会被2 和 3同时标记为合数，则说明小于x2（x的平方）的x的倍数在之前扫描更小的数时就已经标记过了，所以我们可以优化这个筛法，
对于每一个x，把 >= x2的x的倍数标记为合数就可以了，即扫描x时从x2开始标记就行。
算法复杂度为O(n logn logn)，接近线性
bool v[MAXN]; //合数标记
void primes(long n){
memset(v,0,sizeof v);
for(long i=2;i<=n;i++){
if(v[i]) continue;
cout<<i<<endl; //i是质数
for(long j=i;j<=n/i;j++) v[i*j]=1; //累计倍数
}
}
No.2 线性筛法
即使是优化后的Eratosthenes算法，它还是会有重复标记发生，例如12 还是会被2，3重复标记，它时间复杂度较高的根源是它无法唯一确定某个合数的产生方式。
而线性筛法是通过“从大到小累积质因子”的方法去标记每个合数，因为每个合数只会被它的最小质因子筛一次，时间复杂度为O(N)。原理是算术基本定理
代码如下
long v[MAXN],prime[MAXN];
void primes(long n){
memset(v,0,sizeof v); //v表示最小质因子
long m=0;//质数数量
for(long i=2;i<=n;i++){
if(v[i]==0){//i为质数
v[i]=i;
prime[++m]=i;
}
//给i乘上一个质因子
for(long j=1;j<=m;j++){
if(prime[j]>v[i] || i*prime[j]>n) break;//若这个质数大于i的最小质因子，或者超出n的范围，就终止循环
v[prime[j]*i]=prime[j]; //这样就可以得到prime[j]必定为prime[j]*i的最小质因子 （prime[j]<=v[i])
}
}
for(long i=1;i<=m;i++) printf("%ld\n",prime[i]);
}
质因数分解
它要根据算数基本定理来分解
方法：试除法
void divide(long n){
long m=0; //质数数量
for(long i=2;i<=sqrt(n);i++){
if(n%i==0){ //若成立，则i必定为质数
prime[++m]=i;
a[m]=0;
while(n%i==0) n/=i,a[m]++;
}
if(n>1) //说明n本身为质数，无需分解
p[++m]=n;a[m]=1;
}
for(long i=1;i<=m;i++)
printf("%ld^%ld\n",p[i],a[i]);
}
