贝尔数（来自维基百科）& Stirling数

贝尔数

 

贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）为名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）：

 
Bell Number
B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{a, b, c}};

B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成员），而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数适合递推公式：

B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}.

上述组合公式的证明：

可以这样来想，B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素b_{n+1}.

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为{n \choose n}B_{n}；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 {n \choose n-1}B_{n-1}；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 {n \choose n-2}B_{n-2}；

依次类推，得到了上述组合公式


它们也适合“Dobinski公式”：

B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}期望值为1的泊松分数的n次矩。

它们也适合“Touchard同余”：若p是任意质数，那么

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k).

Stirling数S（n, k）是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式，其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数是

\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.

贝尔三角形[编辑]

用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

  • 第一行第一项是1（a_{1,1} = 1）
  • 对于n>1，第n行第一项等同第n-1行最后一项。（a_{n,1} = a_{n-1,n-1}）
  • 对于m,n>1，第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。（a_{n,m} = a_{n,m-1} + a_{n-1,m-1}）

结果如下：（OEIS:A011971）

\begin{array}{cccccccccccccccccc} 1 \\ 1 & & 2 & & & & & & &\\ 2 & & 3 & & 5 & & & & & &\\ 5 & & 7 & & 10 & & 15 & & & & &\\ 15 & & 20 & & 27 & & 37 & & 52 & & & &\\ 52 & & 67 & & 87 & & 114 & & 151 & & 203 & & &\\ 203 & & 255 & & 322 & & 409 & & 523 & & 674 & & 877 & &\\ 877 & & 1080 & & 1335 & & 1657 & & 2066 & & 2589 & & 3263 & & 4140 &\\ & & & & &\vdots & & & & \vdots & & & & \vdots& & & & \\ \end{array}

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

参见[编辑]

参考[编辑]

posted @ 2015-05-05 21:27  寻找&星空の孩子  阅读(5782)  评论(1)  编辑  收藏  举报