编程之美：黑白球问题

题目：有一个桶，里面有白球、黑球各100个，人们必须按照以下的规则把球取出来：

1、每次从桶里面拿出来两个球；

2、如果是两个同色的球，就再放入一个黑球；

3、如果是两个异色的球，就再放入一个白球；

问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？

思路1：找规律

    使用(黑球个数, 白球个数)来表示桶中黑球和白球的个数变动，正数表示增加，负数表示减少，根据规则找规律：

1、如果每次从桶里面拿出两个白球，则应放入一个黑球：(0, -2) + (1, 0) = (1, -2)；

2、如果每次从桶里面拿出两个黑球，则应放入一个黑球：(-2, 0) + (1, 0) = (-1, 0)；

3、如果每次从桶里面拿出一个白球和一个黑球，则应放入一个白球：(-1, -1) + (0, 1) = (-1, 0)；

    从以上各种情况可以看出以下规律：

1）每次都会减少一个球，那么最后的结果肯定是桶内只剩一个球，要么是白球，要么是黑球；

2）每次拿球后，白球的数目要么不变，要么两个两个地减少；

    所以，从上面的分析可以得知，最后不可能只剩下一个白球，那么必然就只能是黑球了。

思路2：使用数学方法

    根据取球规则联想到数学中异或（XOR）：

1、两个相同的数，异或等于0；

2、两个不同的数，异或等于1；

    将黑球看作0，白球看作1，那么对于每次的操作可以做这样的想象：每次捞起两个数字做一次异或操作，并将所得的结果再次丢回桶中，因此最后的结果实际上相当于把所有的球都进行一次异或运算，最后所得的结果即为最后剩余的球。

    异或运算规律：

1）偶数个1异或，结果为0；

2）偶数个0异或，结果为0；

3）奇数个1异或，结果为1；

4）奇数个0异或，结果为0：

 

转自：http://blog.csdn.net/hardbrave/article/details/7005652

 

心得：将所给条件再进一步详细的分解，即可得到思路一的规律，在仔细看即可发现规律。