【LeetCode】322. 零钱兑换

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解题思路：动态规划（自底向上）

该问题属于经典的​​完全背包问题​​变种，核心目标是用​​最少数量的硬币​​凑成目标金额。动态规划是最高效的解法，其核心思想如下：

1. ​​状态定义​​
   dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数量。若无法凑成，则值为 -1。

2. ​​状态转移方程​​

   

   其中需满足 i≥coin 且 dp[i−coin]=−1。

3. ​​边界条件​​

   • dp[0] = 0（金额为0时不需要硬币）
   • 其他值初始化为极大值（表示暂不可达）

4. ​​算法选择​​
   贪心算法在非规范硬币面值下可能失效（如 coins=[25,21,10,1], amount=63，贪心得6枚，最优解为3枚），因此必须用动态规划保证最优解。

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关键步骤

1. ​​初始化 dp 数组​​
   • 长度为 amount+1，dp[0]=0，其余初始化为 amount+1（因为最多只需 amount 枚1元硬币）
2. ​​遍历金额状态​​
   对每个金额 i（从 1 到 amount），遍历所有硬币面值 coin：
   • 若 coin <= i 且 dp[i-coin] 可达（非初始值），则更新：
     dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin] + 1)
3. ​​处理结果​​
   • 若 dp[amount] 仍为初始值 → 返回 -1
   • 否则返回 dp[amount]

​​示例推导​​（coins=[1,2,5], amount=11）
| 金额 i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|
| dp[i] | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 |

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代码实现

func coinChange(coins []int, amount int) int {
    // 边界处理: 金额为0时无需硬币
    if amount == 0 {
        return 0
    }

    // 初始化dp数组, dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币数
    dp := make([]int, amount+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = amount + 1 // 初始化为不可达值
    }
    dp[0] = 0 // 金额0不需要硬币

    // 动态规划填表
    for i := 1; i <= amount; i++ {
        for _, coin := range coins {
            // 若硬币面值不超过当前金额, 且减去该面值后的状态可达
            if coin <= i && dp[i-coin] != amount+1 {
                // 更新dp[i]为更优解
                if dp[i-coin]+1 < dp[i] {
                    dp[i] = dp[i-coin] + 1
                }
            }
        }
    }

    // 返回结果
    if dp[amount] > amount {
        return -1 // 无法凑成
    }
    return dp[amount]
}

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示例测试

func main() {
    tests := []struct {
        coins  []int
        amount int
        want   int
    }{
        {[]int{1, 2, 5}, 11, 3},       // 11 = 5+5+1
        {[]int{2}, 3, -1},             // 无法凑出3
        {[]int{1}, 0, 0},              // 金额0
        {[]int{25, 21, 10, 1}, 63, 3}, // 最优解：21 * 3（贪心会失效）
    }

    for _, test := range tests {
        res := coinChange(test.coins, test.amount)
        fmt.Printf("coins=%v\tamount=%d\t→ %d (期望: %d)\n",
            test.coins, test.amount, res, test.want)
    }
}

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复杂度分析

​​维度​​	​​结果​​	​​说明​​
时间复杂度	​​O(n·k)​​	n为金额，k为硬币种类数
空间复杂度	​​O(n)​​	dp数组长度 = amount+1
适用数据规模	n ≤ 10⁴	满足LeetCode约束

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关键点总结

1. ​​状态定义精准性​​：
   dp[i] 仅关注硬币数量而非组合方式，避免冗余计算。
2. ​​初始化技巧​​：
   用 amount+1 表示不可达状态，避免整数溢出（math.MaxInt 可能过大）。
3. ​​动态规划优势​​：
   • 保证最优解：适用于任意硬币面值组合
   • 高效性：单次遍历即可求解
4. ​​与贪心对比​​：

   ​​算法​​	最优解保证	时间复杂度	适用场景
   动态规划	✅	O(n·k)	任意面值组合
   贪心算法	❌（可能失效）	O(k)	规范面值（如欧元体系）

5. ​​边界陷阱​​：
   • 金额为0时返回0（非-1）
   • 硬币面值需为正整数（题目已约束）