【LeetCode】70. 爬楼梯

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解题思路

爬楼梯问题是一个经典的动态规划问题，其本质是斐波那契数列的变种。通过分析可以发现，到达第 n 阶楼梯的方法数等于到达第 n-1 阶和第 n-2 阶方法数之和，因为最后一步可以是 ​​爬1阶​​ 或 ​​爬2阶​​。因此可以用 ​​动态规划​​ 或 ​​斐波那契数列​​ 的优化方法解决。

关键步骤

1. ​​状态定义​​：设 dp[i] 表示爬到第 i 阶的方法数。
2. ​​状态转移方程​​：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
3. ​​边界条件​​：
   • dp[0] = 1（地面，视为一种方法）
   • dp[1] = 1（1阶楼梯只有1种方法）
   • dp[2] = 2（2阶楼梯有2种方法）
4. ​​空间优化​​：由于每次只需要前两个状态，可以用两个变量代替数组，将空间复杂度优化到 O(1)。

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实现代码

func climbStairs(n int) int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    // 初始化前两个状态：1阶和2阶的方法数
    prev, current := 1, 2
    for i := 3; i <= n; i++ {
        // 计算当前状态，并更新前两个状态
        prev, current = current, prev + current
    }
    return current
}

代码注释

1. ​​边界处理​​：当 n=1 时直接返回 1。
2. ​​变量初始化​​：prev 表示 dp[i-2]，current 表示 dp[i-1]，初始化为 1 和 2（对应 n=1 和 n=2 的情况）。
3. ​​循环计算​​：从第 3 阶开始迭代，通过 prev 和 current 的滚动更新，计算当前阶的方法数。
4. ​​时间复杂度​​：O(n)，空间复杂度：O(1)。

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示例测试

func main() {
    fmt.Println(climbStairs(2)) // 输出 2
    fmt.Println(climbStairs(3)) // 输出 3
    fmt.Println(climbStairs(4)) // 输出 5（1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2）
}

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复杂度分析

• ​​时间复杂度​​：O(n)，需遍历 n 次计算每一步的状态。
• ​​空间复杂度​​：O(1)，仅用两个变量存储中间结果。

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数学解释

问题等价于斐波那契数列的第 n+1 项：

• F(1) = 1
• F(2) = 2
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 3）

例如：

• n=3 对应 F(4)=3
• n=4 对应 F(5)=5

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进一步思考

若问题扩展为“每次可爬 1~m 个台阶”，则需用 ​​完全背包问题​​ 的思路解决，状态转移方程为：
　　dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[i-m]