【LeetCode】202. 快乐数

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解题思路

快乐数问题的核心在于循环检测，主要有两种解法：

1. ​哈希集合法：记录所有出现过的数字，若重复出现则判定为循环（时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)）。
2. ​快慢指针法：利用龟兔赛跑算法检测循环，无需额外存储空间（时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)）。

以下采用快慢指针法实现，这是空间最优的解法。

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​关键步骤

1. ​平方和计算：将数字按位分解，计算各位平方和（如 19 → 1²+9²=82）。
2. ​循环检测：
   • 定义慢指针 slow（每次计算一次平方和）和快指针 fast（每次计算两次平方和）。
   • 若快慢指针相遇且值为 1，则为快乐数；否则存在循环，返回 false。

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​Golang代码实现

func isHappy(n int) bool {
    // 边界条件：直接返回1的情况
    if n == 1 {
        return true
    }

    // 快慢指针初始化
    slow, fast := n, bitSquareSum(n)
    
    // 循环检测（快指针可能先到1）
    for fast != 1 && slow != fast {
        slow = bitSquareSum(slow)        // 慢指针走一步
        fast = bitSquareSum(bitSquareSum(fast)) // 快指针走两步
    }
    
    return fast == 1
}

// 计算数字的各位平方和
func bitSquareSum(n int) int {
    sum := 0
    for n > 0 {
        digit := n % 10     // 取个位数
        sum += digit * digit
        n /= 10             // 移除已处理的位数
    }
    return sum
}

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​复杂度分析

指标	值	说明
​时间复杂度	O(n)	最坏情况下遍历数字链长度
​空间复杂度	O(1)	仅使用固定变量，无额外存储

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​代码解析

1. ​快慢指针逻辑

   • 快指针每次移动两步，慢指针移动一步。若存在循环，两者必定相遇。
   • 示例：对于 n=2，计算链为 2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4，快慢指针最终会在 4 处相遇，返回 false。

2. ​平方和计算函数

   • 通过取余和整除操作逐位处理数字（如 19 → 1和9 → 1+81=82）。

3. ​边界处理

   • 若输入为 1，直接返回 true。
   • 若快指针先到达 1，立即终止循环（如 n=7 的快乐数链）。

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​运行示例验证

func main() {
    fmt.Println(isHappy(19))  // 输出: true（示例1）
    fmt.Println(isHappy(2))   // 输出: false（示例2）
    fmt.Println(isHappy(7))   // 输出: true（快乐数）
    fmt.Println(isHappy(4))   // 输出: false（进入循环）
}

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​扩展讨论

1. ​数学规律优化
   不快乐数最终会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环。若检测到 4 可直接返回 false：

   func bitSquareSum(n int) int {
       sum := 0
       for n > 0 {
           digit := n % 10
           sum += digit * digit
           n /= 10
           if sum > 4 { // 提前终止不必要的计算
               break
           }
       }
       return sum
   }

   该优化可减少部分计算次数，但需权衡条件判断的开销。

2. ​哈希集合法对比

   func isHappyHash(n int) bool {
       seen := make(map[int]bool)
       for n != 1 && !seen[n] {
           seen[n] = true
           n = bitSquareSum(n)
       }
       return n == 1
   }

   该方法更直观，但需额外 O(n) 空间存储已出现数字。

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总结

快慢指针法通过循环检测机制和空间优化，成为解决快乐数问题的标准解法。该实现兼顾效率与代码简洁性，完美覆盖所有测试用例。