前缀和和差分

1.差分的基本概念：

如果有一数列 a[1],a[2],.…a[n]
且令 b[i]=a[i]-a[i-1],b[1]=a[1]

那么就有
a[i]=b[1]+b[2]+.…+b[i]
    =a[1]+a[2]-a[1]+a[3]-a[2]+.…+a[i]-a[i-1]
此时b数组称作a数组的差分数组
换句话来说a数组就是b数组的前缀和数组  例：
     原始数组a：9  3  6  2  6  8
     差分数组b：9 -6  3 -4  4  2
     可以看到a数组是b的前缀和

那么现在有一个任务：

在区间[left,right]上加一个常数c。
我们可以利用原数组就是差分数组的前缀和这个特性，来解决这个问题。显然可得出公式：b[left]+=c,b[right+1]−=c

同样如果通过以上问题让求某一区间的和，那么前缀和也同样能够完成，但是如果操作的次数过大
那么前缀和显然会超时，但是同样有解决的方式例如 树状数组，线段树。
相对于代码长度而言，使用差分的思想求解会变得异常简单。

 

1.1.1 代表题目：1094. 拼车

 

 public boolean carPooling(int[][] trips, int capacity) {
        int N = 1010, maxId = 0;
        int[] diff = new int[N];
        int[] cap = new int[N];
        for (int[] t : trips) {
            maxId = Math.max(maxId, t[1]);
            diff[t[1]] += t[0];
            diff[t[2]] -= t[0];
        }
        if (diff[0] > capacity) return false;
        cap[0] = diff[0];
        for (int i = 1; i <= maxId; i++) {
            cap[i] = cap[i - 1] + diff[i];
            if (cap[i] > capacity) return false;
        }
        return true;
    }

 

买卖股票的最佳时机 II

方法一：动态规划

public class MaxStockProfit {
    public static int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i=1; i<len; i++){
           dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
           dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
        }

        return dp[len-1][0];
    }

    public static int maxProfit2(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int dp0 = 0;
        int dp1 = -prices[0];
        for(int i=1; i<len; i++){
            dp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
            dp1 = Math.max(dp1, dp0 - prices[i]);
        }

        return dp0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] prices = {7,1,5,3,6};
        System.out.println(maxProfit(prices));
        System.out.println(maxProfit2(prices));

    }
}

 

 方法二：贪心

public static int maxProfit3(int[] prices) {
    int len = prices.length;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<len; i++){
        ans += Math.max(0, prices[i] - prices[i-1]);
    }
    return ans;
}

 

LeetCode 253. 会议室 II（贪心+优先队列）

 

1. 题目

给定一个会议时间安排的数组，每个会议时间都会包括开始和结束的时间 [[s1,e1],[s2,e2],…] (si < ei)， 为避免会议冲突，同时要考虑充分利用会议室资源，请你计算至少需要多少间会议室，才能满足这些会议安排。

示例 1:
输入: [[0, 30],[5, 10],[15, 20]]
输出: 2

示例 2:
输入: [[7,10],[2,4]]
输出: 1

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/meeting-rooms-ii 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

2. 解题

类似题目：LeetCode 252. 会议室（排序）

• 开始时间一样，先结束的在前；开始早的在前
• 优先队列存储会议结束的时间，堆顶是结束时间早的
• 下一个会议开始时间早于堆顶的房间结束时间，该会议新开一个room，push进队列
• 最后返回队列的size

 

    public static int minMeetingRooms(int[][] intervlas) {
        if (intervlas.length == 0) {
            return 0;
        }
        // 最小堆，存储结束时间，最早结束时间排在最前面
        PriorityQueue<Integer> allocator = new PriorityQueue<Integer>(intervlas.length, (a, b)->a-b);
        // 对intervlas 按开始时间从小到大排序
        Arrays.sort(intervlas, (a, b)->a[0]-b[0]);

        // 添加第一场会议的结束时间
        allocator.add(intervlas[0][1]);

        // 遍历除第一场之外的所有会议
        for(int i=1; i<intervlas.length; i++) {
            if (intervlas[i][0]>= allocator.peek()) {
                // 如果当前会议的开始时间大于前面已经开始的会议中最晚结束的时间
                // 说明有会议室空闲出来了，可以直接重复利用
                // 当前时间已经是 intervals[i][0]，因此把已经结束的会议删除
                allocator.poll();
            }
            // 把当前会议的结束时间加入最小堆中
            allocator.add(intervlas[i][1]);
        }
        // 当所有会议遍历完毕，还在最小堆里面的，此时的数量就是会议室的最少数量
        return allocator.size();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] ints = {{5, 10},{0, 30},{15, 20}, {35,40},{41,45}};
        System.out.println(minMeetingRooms(ints));
    }