第一讲 01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v_i，价值是 w_i。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v_i,w_i，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<v_i,w_i≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

二维数组+动规
状态转移方程：
定义f[i][j]:前i个物品，背包容量j下的最优解

1）当前背包容量不够（j < w[i]），为前i-1个物品最优解：f[i][j] = f[i-1][j]
2）当前背包容量够，判断选与不选第i个物品
选：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]
不选：f[i][j] = f[i-1][j]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int w[MAXN];    // 重量 
int v[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j重量下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        cin >> w[i] >> v[i];

    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            //  当前重量装不进，价值等于前i-1个物品
            if(j < w[i]) 
                f[i][j] = f[i-1][j];
            // 能装，需判断 
            else    
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]);
        }           

    cout << f[n][m];
    return 0;
}

降维直接去掉行，注意第二个循环，直接用 减

 

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int w[MAXN];    // 重量 
int v[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN];    // [j], j重量的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        cin >> w[i] >> v[i];

    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        for(int j = m; j >= 1; j--)
        {
                if(j >= w[i])f[j] = max(f[j], f[j-w[i]] + v[i]);
        }           

    cout << f[m];
    return 0;
}