力扣刷题——3007.价值和小于等于 K 的最大数字

根据题意，不难想到该题的暴力解法，从数字1开始，逐个累加。每次检查由当前数字num所构成的累加价值是否大于k，假如为真，那么可以输出上一个数字，即num-1

class Solution {
public:
    long long findMaximumNumber(long long k, int x) {
        long long subSum = 0;
        for(long long num = 1; ; num++)
        {
            int tem = num;
            while(tem)
            {
                tem = tem >> (x - 1);
                subSum += tem & 1;
                tem = tem >> 1;
            }
            if(subSum > k)
                return num - 1;
        }
    }
};

但是会超时，重新思考问题，由于本质上是一个查找问题，并且在暴力搜索的过程中，累加价值一直在增加。因此可知累加价值是一个单调增加的数列，可以通过二分查找的方式减少搜索的次数。若使用二分查找，需要考虑两个问题：第一，二分的初始左右边界如何界定；第二，如何快速的求得当前所查找数值的累加价值。
对于第一个问题，左边界比较好确定，应当为1。设定右边界可以这样思考：假定一个极限情况，k的价值为0，那么num = (k + 1) << x时，num的价值为1，在这种情况下，num的第x位为1（num的价值至少为1）的数字组合一共有((k + 1) << x) - (1 << x) + 1种，那么该数值的累加价值一定大于k。

对于第二个问题，观察下表，之后经过归纳可以发现，一个数值的价值有周期性规律，当x = 2时，第一种周期为4，第一种周期的前半周期提供的价值为0，而后半周期提供的价值为1；第二种周期则为16。可以计算一个数字满足几个周期，然后再分别计算每个周期分别能提供多少价值，将它们累加起来就得到了累加价值。
以x=2，num=14为例子，第一种周期，每4个数提供两个价值；第二种周期，每16个数提供8个价值:
首先计算第一种周期能够提供多少价值，对于完整的提供一个周期的价值，计算公式为((14 + 1) / pow(2,2)) * pow(2,1) = 6 ,乘号左边代表数字中存在多少个完整的第一周期，右边则代表每满足一个第一种周期会提供多少价值。此外，注意到14在不完整的第一种周期内，有部分在第一周期的下半周期内（12,13位于上半周期，14则位于下半周期），因此还需把这部分提供的价值加上，计算公式为((14 + 1) % pow(2,2)) - pow(2,1) = 1。相加后，得到了第一周期提供给14的累加价值7。
因为14不存在完整的第二种周期，所以14从第二种周期的部分下半周期获得价值，计算公式为((14 + 1) % pow(2,4)) - pow(2,3) = 7，则第二种周期提供给14的累加价值为7。

x	num	二进制表示	价值	累加价值
2	0	0000	0	0
2	1	0001	0	0
2	2	0010	1	1
2	3	0011	1	2
2	4	0100	0	2
2	5	0101	0	2
2	6	0110	1	3
2	7	0111	1	4
2	8	1000	1	5
2	9	1001	1	6
2	10	1010	2	8
2	11	1011	2	10
2	12	1100	1	11
2	13	1101	1	12
2	14	1110	2	14
2	15	1111	2	16

实现代码如下：

    long long getPeriodPrice(long long num, int x)
    {
        long long period = 1LL << x;
        //计算完整的周期提供的价值
        long long res = (num + 1) / period * pow(2, x - 1);
        //计算不完整的周期提供的价值
        if((num + 1) % period >= (period >> 1))
            res += (num + 1) % period - (period >> 1);   
        return res;
    }

    long long getAccuPrice(long long num, int x)
    {
        int bitNum = 0;
        long long tem = num;
        while(tem)
        {
            tem = tem >> 1;
            bitNum++;
        }

        long long res = 0;
        for(int i = x; i <= bitNum; i += x)
        {
            res += getPeriodPrice(num, i);
        }
        return res;
    }

    long long findMaximumNumber(long long k, int x) {
        long long left = 1, right = (k + 1) << x;

        while(left < right)
        {
            long long mid = (left + right + 1) / 2;
            long long a = getAccuPrice(mid, x);
            if(a > k)
            {
                right = mid - 1;
            }
            else
            {
                left = mid;
            }
        }
        return left;
    }