03-数据结构与算法（约瑟夫问题栈笔记）
约瑟夫问题栈
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问题描述
15个教徒与15个非教徒在深海遇险，必须将一半的人投入大海，其余的人才能幸免于难，于是想到一个方法，30个人围成一圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环直到余15个人为止，问怎么样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒？
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循环链表实现
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication5
{
class CirculLinkedList
{
//元素个数
private int count;
//尾指针
private Node tail;
//当前节点的前节点
private Node CurrPrev;
//增加元素
public void Add(object value)
{
Node newNode = new Node(value);
if (tail==null)
{//链表为空
tail = newNode;
tail.next = newNode;
CurrPrev = newNode;
}
else
{//链表不为空，把元素增加到链表结尾
newNode.next = tail.next;
tail.next = newNode;
if (CurrPrev==tail)
{
CurrPrev = newNode;
}
tail = newNode;
}
count++;
}
//删除当前元素
public void RemoveCurrNode()
{
//为null代表为空表
if (tail == null)
{
throw new NullReferenceException("集合中没有任何元素！");
}
else if (count==1)
{
tail = null;
CurrPrev = null;
}
else
{
if (CurrPrev.next==tail)
{
tail = CurrPrev;
}
CurrPrev.next = CurrPrev.next.next;
}
count--;
}
//当前节点移动步数
public void Move(int step)
{
if (step<0)
{
throw new ArgumentOutOfRangeException("step", "移动步数不可为负数！");
}
if (tail==null)
{
throw new NullReferenceException("链表为空！");
}
for (int i = 0; i < step; i++)
{
CurrPrev = CurrPrev.next;
}
}
//获得当前节点
public object Current
{
get {return CurrPrev.next.item ;}
}
public override string ToString()
{
if (tail==null)
{
return string.Empty;
}
string s = "";
Node temp = tail.next;
for (int i = 0; i < count; i++)
{
s += temp.ToString() + " ";
temp = temp.next;
}
return s;
}
public int Count
{
get {return count ;}
}
private class Node
{
public Node(object value)
{
item = value;
}
//放置数据
public object item;
public CirculLinkedList.Node next;
public override string ToString()
{
return item.ToString();
}
}
}
}
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构造循环链表，解决约瑟夫问题
static void Main(string[] args)
{
CirculLinkedList lst = new CirculLinkedList();
string s = string.Empty;
Console.Write("请输入总数：");
int count = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("请输入每次要报到几!");
int m = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("报数开始~");
for (int i = 1; i <= count; i++)
{//构建循环列表
lst.Add(i);
}
Console.WriteLine(lst.ToString());
while (lst.Count>15)
{
lst.Move(m);
s += lst.Current.ToString() + " ";
lst.RemoveCurrNode();//把报数的人扔入大海
// Console.WriteLine("剩余的人为： "+lst.ToString());
Console.WriteLine(lst.Current + "开始报数！");
}
Console.WriteLine("被扔入大海的人为："+s+lst.Current);
Console.ReadLine();
}
2.笔算解决
笔算解决约瑟夫问题
在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，
M=2
即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。
当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，
对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t，其中t<n/2
于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1
于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：
求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。
此时要比M=2时要复杂的多
我们以N=2009为例计算
N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F（2009,3），或者可以简单的记为F（2009）
假设现在还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[]表示取整，还剩下n-[n/3]个人
设这n个人为a1,a2,...,a(n-1）,an
从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1）,a(n-n mod 3+1）,..,an
于是可得：
1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3），下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1）
2、若3|n，则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3]）个人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人
3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1个人
综合1，2，3可得：
F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，
当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3），F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1
当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1
这种算法需要计算 [log（3/2）2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了
于是：
第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，
第二圈，杀死446人，还剩下894人
第三圈，杀死298人，还剩下596人
第四圈，杀死198人，还剩下398人
第五圈，杀死132人，还剩下266人
第六圈，杀死88人，还剩下178人
第七圈，杀死59人，还剩下119人
第八圈，杀死39人，还剩下80人
第九圈，杀死26人，还剩下54人
第十圈，杀死18人，还剩36人
十一圈，杀死12人，还剩24人
十二圈，杀死8人，还剩16人
十三圈，杀死5人，还剩11人
十四圈，杀死3人，还剩8人
十五圈，杀死2人，还剩6人
F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，
然后逆推回去
F（8）=7 F（11）=7 F（16）=8 f（24）=11 f（36）=16 f（54）=23 f（80）=31 f（119）=43 f（178）=62 f（266）=89 f（398）=130
F（596）=191 F（894）=286 F（1340）=425 F（2009）=634
浙公网安备 33010602011771号