0/1背包问题与动态规划
假设背包容量M=9；(P1,P2,P3,P4,P5,P6)=(15,18,40,56,30,10);(W1,W2,W3,W4,W,5,W6)=(3,2,5,8,5,1)。
算法思想
变量解释：
F(i)：Si中第一对序偶在数组中的位置(下标)
l, h：Si-1的第一对序偶和最后一对序偶在数组中的位置,即F(i-1)和F(i)-1.
k: Si-1中当前要加入Si的序偶的位置.
u: 在Si-1能够产生Si1序偶的最后一个位置，即对于u+1<=v<= h的序偶(Pv,Wv)，有Wv+wi>M.
j: 当前正在生成Si1的Si-1中序偶的位置.
next: Si中要加入序偶的位置.
1.初始化
最初只有S0的信息，F(0),P(1),W(1),l,h,F(1),next
2.生成Si
(1)逐一生成Si1中的序偶(pp,ww)
在未处理的Si-1中: a. 重量比ww小的序偶(P(k),W(k))加入Si中判断(pp,ww)是否被支配，是否可放入Si中；
b. 如(pp,ww)可放入Si中，重量比ww大的序偶，如被(pp,ww) 支配则舍弃，不放入Si中。
(2) Si1中的序偶逐一生成且判断是否放入Si中后，Si-1中若还有序偶没有加入Si中，则全部加入；
3.生成最末序偶，回溯构造最优决策序列
序偶：
支配规则: 如果Si-1 和 Si1 中一个有(Pj,Wj), 另一个有(Pk,Wk), 并且在Wj>=Wk的同时有Pj<=Pk, 那么, 序偶(Pj,Wj)被放弃
Si的序偶的生成
每生成Si1中的一个序偶(pp,ww)，考察哪些序偶要被加入到Si
①将Si-1中W<ww的序偶加入Si
②由支配规则看(pp,ww)是否加入Si，考察Si-1中W<ww的最后一个序偶(Pg,Wg)，若Pg≥pp，则舍弃(pp,ww)
否则
③ 考察Si-1中下一个序偶(pg+1, Wg+1)，若Wg+1= ww,则pp¬max{pg+1,pp}
④ (pp,ww)->Si
⑤考察Si-1中W>ww的序偶有无被(pp,ww)支配，若被支配则舍弃
1 package dynamicProgramming; 2 3 public class DKNAP { 4 double M; 5 double[] P,W; 6 int n=6; 7 int[] X=new int[n+1]; 8 DKNAP(){ 9 M=9; 10 double[] temp0={0,15,18,40,56,30,10};//本程序P,W以下标从1开始计数 11 P=temp0; 12 double[] temp1={0,3,2,5,8,5,1}; 13 W=temp1; 14 X=dknap(P,W,M,X,n); 15 System.out.println(); 16 double sum=0; 17 System.out.print("X[n]:"); 18 for(int i=1;i<=n;i++){ 19 sum+=X[i]*P[i]; 20 System.out.print(X[i]+" "); 21 } 22 System.out.println("sum="+sum); 23 } 24 public int[] dknap(double[] p,double[] w,double M,int[] X,int n){ 25 int[] F=new int[n+1]; 26 int m=100; 27 double[] P=new double[m]; 28 double[] W=new double[m]; 29 double pp,ww; 30 int l,h,i,j,k,next,u,v; 31 F[0]=1; 32 P[1]=W[1]=0;//S0 33 System.out.println("S0:"); 34 System.out.print("("+P[1]+","+W[1]+")"); 35 l=h=1;//s0的起始和结束位置 36 F[1]=next=2;//P和W的第一个空位 37 for(i=1;i<n;i++){//生成Si 1~n-1 38 k=l; 39 for(v=F[i-1];v<F[i];v++){ 40 if(W[v]+w[i]>M) 41 break; 42 } 43 u=v-1;//在l<=r<=h中使W(v)+W[i]<=M的最大的v; 44 System.out.println(); 45 System.out.println("u:"+u+" (P[u],W[u]):("+P[u]+","+W[u]+")"+" w[i]:"+w[i]); 46 System.out.println("S"+i+":"); 47 for(j=l;j<=u;j++){//生成Si,1及归并 48 pp=P[j]+p[i]; 49 ww=W[j]+w[i];//Si,i的下一个元素 50 while (k<=h&&W[k]<ww){//从Si-1中取元素来归并 51 P[next]=P[k]; 52 W[next]=W[k]; 53 System.out.print("("+P[k]+','+W[k]+") "); 54 next++; 55 k++; 56 } 57 if(k<=h&&W[k]==ww){// 58 pp=max(pp,P[k]); 59 k++; 60 } 61 if(pp>P[next-1]){//Si-1中最后一个序偶（P[next-1],W[next-1]）,如果P[next-1]>=pp,则舍弃（pp,ww） 62 P[next]=pp; 63 W[next]=ww; 64 next++; 65 System.out.print("("+pp+','+ww+") "); 66 } 67 while(k<=h&&P[k]<=P[next-1]){//清除 68 k++; 69 } 70 } 71 //将Si-1中剩余元素并入Si// 72 while(k<=h){ 73 P[next]=P[k]; 74 W[next]=W[k]; 75 System.out.print("("+P[k]+','+W[k]+") "); 76 next++; 77 k++; 78 } 79 //对Si+1置初值// 80 l=h+1; 81 h=next-1; 82 F[i+1]=next; 83 } 84 double Px=P[next-1]; 85 double Wx=W[next-1]; 86 double Wl=0; 87 double Pl=0; 88 for(i=F[n-1];i<F[n]&&W[i]+w[n]<M;i++){ 89 if(W[i]>Wl){ 90 Wl=W[i]; 91 Pl=P[i]; 92 } 93 } 94 double Py=Pl+p[n]; 95 double Wy=Wl+w[n]; 96 if(Px>Py){ 97 X[n]=0; 98 99 } 100 else{ 101 X[n]=1; 102 Px=Pl; 103 Wx=Wl; 104 } 105 for(k=n-1;k>0;k--){ 106 boolean flag=false; 107 for(i=F[k-1];i<F[k];i++){ 108 if(P[i]==Px&&W[i]==Wx){ 109 flag=true; 110 break; 111 } 112 } 113 if(!flag){ 114 X[k]=1; 115 Px=Px-p[k]; 116 Wx=Wx-w[k]; 117 } 118 } 119 return X; 120 } 121 public double max(double a,double b){ 122 if(a>=b) 123 return a; 124 else 125 return b; 126 } 127 public static void main(String[] args) { 128 // TODO Auto-generated method stub 129 new DKNAP(); 130 } 131 132 }
测试结果:
