亿些数学题的推导

P2398

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\gcd(i,j)\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{n}\varphi(d)\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{d=1}^{n}\varphi(d) \times [d|\gcd(i,j)]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\varphi(d) \times \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[d|\gcd(i,j)]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\varphi(d) \times \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[d|i] \times [d|j]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\varphi(d) \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}1\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\varphi(d) \times \lfloor \frac{n}{d} \rfloor^2\)

SP26017

我们约定 \(i_2 \le j_2\)。

差分一下：\(\sum\limits_{i=i_1}^{i_2}\sum\limits_{j=j_1}^{j_2}\gcd(i,j)=\sum\limits_{i=1}^{i_2}\sum\limits_{j=1}^{j_2}\gcd(i,j)-\sum\limits_{i=1}^{i_2}\sum\limits_{j=1}^{j_1-1}\gcd(i,j)-\sum\limits_{i=1}^{i_1-1}\sum\limits_{j=1}^{j_2}\gcd(i,j)+\sum\limits_{i=1}^{i_1-1}\sum\limits_{j=1}^{j_1-1}\gcd(i,j)\)

\(\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}\gcd(i,j)\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{x} \varphi(d)\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}\sum\limits_{d=1}^{x} \varphi(d) \times [d|\gcd(i,j)]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{x} \varphi(d) \times \sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}[d|i] \times [d|j]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{x} \varphi(d) \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{x}{d} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{y}{d} \rfloor}1\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{x} \varphi(d) \times \lfloor \frac{x}{d} \rfloor \times \lfloor \frac{y}{d} \rfloor\)

P3704

我们约定 \(n \le m\)。

\(\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}f_{\gcd(i,j)}\)

\(=\prod\limits_{g=1}^{n}f_{g}^{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=g]}\)

考虑简化指数。

\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=g]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{gd} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{gd} \rfloor\)

设 \(tmp = gd\)。

\(\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{gd} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{gd} \rfloor\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{tmp} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{tmp} \rfloor\)

则，原式

\(=\prod\limits_{g=1}^{n}f_{g}^{\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{tmp} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{tmp} \rfloor}\)

提前枚举 \(tmp\)。

原式

\(=\prod\limits_{tmp=1}^{n}\prod\limits_{g|tmp}f_{g}^{\mu(\frac{tmp}{g}) \times \lfloor \frac{n}{tmp} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{tmp} \rfloor}\)

\(=\prod\limits_{tmp=1}^{n}(\prod\limits_{g|tmp}f_{g}^{\mu(\frac{tmp}{g})})^ {\lfloor \frac{n}{tmp} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{tmp} \rfloor}\)

P2522

差分一下。

\(\sum\limits_{i=a}^{b}\sum\limits_{j=c}^{d}[\gcd(i,j)=k]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{b}\sum\limits_{j=1}^{d}[\gcd(i,j)=k] - \sum\limits_{i=1}^{a-1}\sum\limits_{j=1}^{d}[\gcd(i,j)=k]-\sum\limits_{i=1}^{b}\sum\limits_{j=1}^{c-1}[\gcd(i,j)=k]+\sum\limits_{i=1}^{a-1}\sum\limits_{j=1}^{c-1}[\gcd(i,j)=k]\)

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=k]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \mu(d)\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{dk} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{dk} \rfloor\)

P3911

我们设 \(cnt_i\) 为 \(i\) 在序列中出现的次数。

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{A}\operatorname{lcm}(a_i,a_j) \times cnt_i \times cnt_j\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{A} \frac{i\times j \times cnt_i \times cnt_j}{\gcd(i,j)}\)

\(=\sum\limits_{g=1}^{A}\sum\limits_{i=1}^{A}\sum\limits_{j=1}^{A} [\gcd(i,j)=g] \times \frac{i\times j \times cnt_i \times cnt_j}{g}\)

\(=\sum\limits_{g=1}^{A}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \times i\times j \times cnt_{ig} \times cnt_{jg} \times g\)

\(=\sum\limits_{g=1}^{A}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor} (\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor} \mu(d)) \times i\times j \times cnt_{ig} \times cnt_{jg} \times g\)

\(=\sum\limits_{g=1}^{A}\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{A}{g} \rfloor} \mu(d) \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{gd} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{gd} \rfloor} i\times j \times cnt_{igd} \times cnt_{jgd} \times g \times d^2\)

\(=\sum\limits_{g=1}^{A}\sum\limits_{gd=1}^{A} \mu(d) \times d^2 \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{gd} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{gd} \rfloor} i\times j \times cnt_{igd} \times cnt_{jgd} \times g\)

设 \(T=gd\)。

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\)

\(=\sum\limits_{gd=1}^{A}\sum\limits_{g=1}^{A} \mu(d) \times d^2 \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times j \times cnt_{iT} \times cnt_{jT} \times g\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d^2 \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times j \times cnt_{iT} \times cnt_{jT} \times g\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d^2 \times g \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times j \times cnt_{iT} \times cnt_{jT}\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d \times T \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times j \times cnt_{iT} \times cnt_{jT}\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}T \times (\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d) \times (\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times cnt_{iT} \times j \times cnt_{jT})\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}T \times (\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d) \times (\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times cnt_{iT} \times \sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor}j \times cnt_{jT})\)

\(=\sum\limits_{T=1}^{A}T \times (\sum\limits_{g|T}^{A} \mu(d) \times d) \times (\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{T} \rfloor} i\times cnt_{iT})^2\)

P2158

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)=1]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{n} \mu(d)\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{d} \rfloor^2\)

P1072

\(\sum\limits_{x=1}^{b_1}[\gcd(x,a_0)=a_1] \times [\operatorname{lcm}(x,b_0)=b_1]\)

\(=\sum\limits_{x=1}^{b_1}[\gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1] \times [\frac{x \times b_0}{\gcd(x,b_0)}=b_1]\)

\(=\sum\limits_{x=1}^{b_1}[\gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1] \times [\gcd(x,b_0)=\frac{x \times b_0}{b_1}]\)

\(=\sum\limits_{x=1}^{b_1}[\gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1] \times [\gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}{x})=1]\)

P5221&P4917

\(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\frac{\operatorname{lcm}(i,j)}{gcd(i,j)}\)

\(=\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\frac{i \times j}{gcd(i,j)^2}\)

\(=\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n i \times j \times \prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\frac{1}{gcd(i,j)^2}\)

分离两个部分。

\(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n i \times j\)

\(=\prod\limits_{i=1}^{n} i^n \times (n!)\)

\(=(n!)^n \times (\prod\limits_{i=1}^{n} i)^n\)

\(=(n!)^{2n}\)

\(O(n)\) 计算即可。

\(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\frac{1}{gcd(i,j)^2}\)

\(=\frac{1}{(\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{n}gcd(i,j))^2}\)

将分母提取出来。

\((\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{n}gcd(i,j))^2\)

我们可以先忽略 \(2\) 次方。

\(\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{n}gcd(i,j)\)

\(=\prod\limits_{g=1}^{n} g^{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)=g]}\)

\(=\prod\limits_{g=1}^{n} g^{\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]}\)

提取出指数化简。

\(\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{gd} \rfloor^2\)

\(\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{n}gcd(i,j)^2\)

\(=\prod\limits_{g=1}^{n} g^{2\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \lfloor \frac{n}{gd} \rfloor^2}\)

整除分块即可。

P3327

首先，\(d(ab)\) 很明显不好求。
若枚举约数的质因数来求约数个数，我们可以得到一个式子：\(d(ab)=\sum\limits_{x|a}\sum\limits_{y|b}[\gcd(x,y)=1]\)。
考虑证明它。
首先，我们枚举约数的质因数，设当前枚举到了质因数 \(p_i\)，而 \(a\) 的唯一分解中有 \(p_{i}^{x} 项\)，\(b\) 的唯一分解中有 \(p_{i}^{y}\) 项，枚举的因数 \(c\) 中有 \(p_i^{z}\)。
分类讨论一下。
当 \(z \le x\) 时，我们直接从 \(a\) 中取出这 \(z\) 个 \(p_i\)。
当 \(z > x\) 时，我们从 \(a\) 中取出 \(x\) 个 \(p_i\) 再从 \(b\) 中取出 \(z-x\) 个 \(p_i\)。对于这一种情况，我们可以将它映射为只从 \(b\) 中取出 \(z-x\) 个 \(p_i\) 的方案，可以知道，这样与原来的是等价的。
对于每个质因数都这样搞，那么我们就可以知道对于映射后的方案，要么只从 \(a\) 中取，要么只从 \(b\) 中取，要么不取。
也就是说，我们分别从 \(a,b\) 中取出的数在映射下是互质的，并且每当有一组互质的数，就代表有这样一个约数可以通过上述映射方式弄出来。
问题转化为求 \(\sum\limits_{a}^{n}\sum\limits_{b}^{m}\sum\limits_{x|a}\sum\limits_{y|b}[\gcd(x,y)=1]\)。
约定 \(n \le m\)。
\(\sum\limits_{a}^{n}\sum\limits_{b}^{m}\sum\limits_{x|a}\sum\limits_{y|b}[\gcd(x,y)=1]\)
\(=\sum\limits_{x}^{n}\sum\limits_{y}^{m}\sum\limits_{a}^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor}\sum\limits_{b}^{\lfloor \frac{m}{y} \rfloor}[\gcd(x,y)=1]\)
\(=\sum\limits_{x}^{n}\sum\limits_{y}^{m}\lfloor \frac{n}{x} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{y} \rfloor \times [\gcd(x,y)=1]\)
\(=\sum\limits_{x}^{n}\sum\limits_{y}^{m}\lfloor \frac{n}{x} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{y} \rfloor \times \sum\limits_{d|\gcd(x,y)}\mu(d)\)
提前枚举 \(d\)。
\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}\lfloor \frac{n}{xd} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{yd} \rfloor \times \mu(d)\)
换一下顺序。
\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d) \times (\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\lfloor \frac{n}{xd} \rfloor) \times (\sum\limits_{y=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}\lfloor \frac{m}{yd} \rfloor)\)
预处理右边两个东西，整除分块跑一遍 \(O(T\sqrt{n})\)。

Part 2