洛谷 P7392 题解

传送门：P7392 「TOCO Round 1」奇怪的排序。

题意很明显，该伪代码就是归并排序的版子，只不过是规定了层数为 \((k - 1)\)。

我们知道对于一个有 \(x\) 个数的子序列它本身有序的概率是 \(\dfrac{1}{x!}\)。

因为归并排序是从中间划分并递归，所以在第 \(k-1\) 层的划分序列必定是 \(\dfrac{n}{{2}^k}\) 或 \(\dfrac{n}{{2}^k}+1\) 向下取整。而这两种子集的数量是可以求出来的的，留给读者思考，在代码中也有体现。

只要将全排列数 \(n!\) 乘上每一个第 \((k-1)\) 层子集有序的概率就能得出最终的答案。

而对于分数的乘法相当于除法，在需要取摸的情况下要求逆元。

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特殊的，对于 \(n \le {2}^k\) 的情况，无论序列如何都可以完成排序，所以答案为全排列数 \(n!\)。

但由于 \(k\) 可能会很大，而当 \(k > 20\) 时 \({2}^k\) 一定大于任意的 \(n \le {10}^6\)。为了避免 \({2}^k\) 溢出导致误判，需要添加一个 \(k > 20\) 的特判。

当 \(k = 0\) 时，只有原序列有序才能在不排序的情况下有序，所以只有 \(1\) 种方案。

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点击查看代码

#include<iostream>
#define ll long long
const int mod(1e9+7);
using namespace std;
ll t,n,k,jc[1000005]={0,1};
ll qpow(ll a,ll b){
	ll s=1;
	while(b){
		if(b&1) s=s*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int main(){
	#ifdef ytxy
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	cin>>t;
	for(int i=2;i<=1e6;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	while(t--){
		cin>>n>>k;
		if(k>20||(1<<k)>=n)
			cout<<jc[n]<<'\n';
		else if(k==0)
			cout<<1<<'\n';
		else
			cout<<1ll*qpow(qpow(jc[n/(1<<k)],mod-2)/*逆元*/,1<<k)
            *qpow(qpow(n/(1<<k)+1,mod-2),n%(1<<k))%mod/*此前为求概率（所有第k层子集有序的总概率）*/
			*jc[n]/*全排列数*/%mod<<'\n'; 
	}
}