Softmax函数原理及Python实现

Softmax原理

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Softmax函数用于将分类结果归一化，形成一个概率分布。作用类似于二分类中的Sigmoid函数。

对于一个k维向量z，我们想把这个结果转换为一个k个类别的概率分布p(z)。softmax可以用于实现上述结果，具体计算公式为：

\[softmax(x_i) = \frac{exp(x_i)}{\sum_j exp(x_j)} \]

对于k维向量z来说，其中\(z_i \in R\)，我们使用指数函数变换可以将元素的取值范围变换到\((0, +\infin)\),之后我们再所有元素求和将结果缩放到[0,1],形成概率分布。

常见的其他归一化方法，如max-min、z-score方法并不能保证各个元素为正，且和为1。

Softmax性质

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输入向量x加上一个常数c后求softmax结算结果不变，即:

\[softmax(x) = softmax(x+c) \]

我们使用softmax(x)的第i个元素的计算来进行证明：

\[softmax(x_i+c) = \frac{exp(x_i+c)}{\sum_jexp(x_j+c)} \\= \frac{exp(x_i) * exp(c)}{\sum_j[exp(x_j) * exp(c)]} \\=\frac{exp(x_i) * exp(c)}{exp(c) * sum_j exp(x_j)} \\=\frac{exp(x_i)}{\sum_jexp(x_j)} \\= softmax(x_i) \]

函数实现

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由于指数函数的放大作用过于明显，如果直接使用softmax计算公式\(softmax(x_i) = \frac{exp(x_i)}{\sum_j exp(x_j)}\)进行函数实现，容易导致数据溢出(上溢)。所以我们在函数实现时利用其性质：先对输入数据进行处理，之后再利用计算公式计算。具体使得实现步骤为：

1. 查找每个向量x的最大值c；
2. 每个向量减去其最大值c, 得到向量y = x-c;
3. 利用公式进行计算,softmax(x) = softmax(x-c) = softmax(y)

代码如下：

import numpy as np

def softmax(x):
    """
    softmax函数实现
    
    参数：
    x --- 一个二维矩阵, m * n,其中m表示向量个数，n表示向量维度
    
    返回：
    softmax计算结果
    """
    assert(len(X.shape) == 2)
    row_max = np.max(X, axis=axis).reshape(-1, 1)
    X -= row_max
    X_exp = np.exp(X)
    s = X_exp / np.sum(X_exp, axis=axis, keepdims=True)

    return s

测试一下：

a = [[1,2,3],[-1,-2,-3]]
b = [[1,2,3]]
c = [1,2,3]
a = np.array(a)
b = np.array(b)
c = np.array(c)

print(softmax(a))
print(softmax(b))
print(softmax(c)) # error

输出结果为：

[[ 0.09003057  0.24472847  0.66524096]
 [ 0.66524096  0.24472847  0.09003057]]
[[ 0.09003057  0.24472847  0.66524096]]
Traceback (most recent call last):
    assert(len(X.shape) == 2)
AssertionError