Dirac 条件的一个我自己的证明

因为拿到这个条件之后这些东西都是我自己想的，所以浅浅记下来玩一玩。

dirac 条件

对于 \(k\) 个点的无向图，如果每个点的度数都大于等于\(\left\lfloor\frac k2\right\rfloor\) 则存在一条哈密顿圈。

Solution

\(k=1,2,3\) 均成立。

假设结论对 \(k<n\) 成立，\(k=n\) 时：

在图中找一条边 \(u,v\) 并找 \(w\) 满足存在边 \((u,w),(w,v)\) （根据托兰定理一定存在这样的 \(w\)） 不断扩展这样的回路，那么假设最终得到的回路长度为 \(s\)，那么对于不在回路上的点一定满足和回路上的点的连边数量少于 \(\lfloor\frac{s}2\rfloor\) ，否则根据鸽巢原理能找到回路上的相邻两点满足和它有边。

于是记不在回路上的点为 \(x_1\dots x_{n-s}\) 那么记 \(deg(x_i)\) 表示 \(x_i\) 的出边中终点为 \(x_j\) 的数量。此时不难发现 \(deg(x_i)\ge\lfloor \frac{n}2\rfloor+1-\lfloor\frac s2\rfloor>\lfloor\frac{n-s}2\rfloor\) 根据归纳假设这 \(n-s\) 个点的导出子图中有哈密顿圈。

假设按照最合适的回路扩展方法所能得到的最长的的回路长度 \(=n\) 则原命题成立，否则记 \(s\) 为所有扩展方法中最长回路长度。可以发现，扩展回路的方法只有有限种。此时根据上面的陈述可以发现 \(s\ge \frac{n}2\)。在 \(s=n-1,n-2\) 以及在 \(n\) 是偶数且 \(s=\frac{n}2\) 时都可以通过简单的鸽巢原理来证明，于是我们限制 \(\frac n2<s<n-2\) 来进行下面这部分。

2.证明 在 \(n-s>0\) 时可以把长度为 \(n-s\) 的回路的一部分拼到长度为 \(s\) 的的回路上得到一个长度为 \(t(t>s)\) 的回路。

考虑到一个小环上的点（在长度为 \(n-s\) 的哈密顿圈上的点 ）必然有 \(\lceil\frac n2\rceil-(n-s-1)\) 条出边的终点在大环上，于是小圈上相邻两个点的连向大环的出边终点交集中至少有 \(\lceil\frac n2\rceil-(n-s-1)\) 个点。这些点之间的夹着的点的数量必然 \(n-s\) 否则和这个长度为 \(s\) 的哈密顿圈是最大的相矛盾。

于是找到不等关系：

\((\lceil\frac n2\rceil-(n-s-1)) + (\lceil\frac n2\rceil-(n-s))(n-s)\le s\)

分 \(n\) 的奇偶性讨论发现不等式均不成立，所以得到矛盾。

这样我们发现如果 \(\frac {n}2\le s\le n-1\) 那么 \(s\) 不能作为最大的回路长度，所以 \(s=n\) ，即图上有哈密顿回路。即原命题对 \(k=n\) 成立。