【学习笔记】数学分析 2023

本来是打算认真学习数学分析，并且认真给学到的东西写一份 latex 博客，但是因为这太浪费时间，给这么数学的东西写博客意义不明显。所以断更了。

第一章 预备知识

基础概念

• 函数的复合 \(f\circ g\) 和 \(g\circ f\) 可能写出来的表达式一样，但是定义域不一样。\(f(x)=\frac{1}{1-x}.,g(x)=\frac1x\)

  多个函数复合可以实现结合律，但是显然没有交换律。

• 周期函数的定义需要满足 \(f(x)\) 在 \(x\pm T\) 处有定义且满足 \(f(x)=f(x\pm T)\)

例题

• 证明 \(n!\le \left(\dfrac{n+2}{\sqrt 6}\right)^n\)

  Solution

  两边平方，首尾配对：\(\displaystyle (n!)^2\le\frac 1n(\sum_{i=1}^n i(n+1-i))^n\le (\frac{(n+2)^2}6)^n\)

• 给定实数 \(x\) 和整数 \(N>1\) 证明存在 \(p,q\in \mathbb{Z}\) 满足 \(0<q\le N\) 且 \(|qx-p|<\frac{1}N\)

  Solution

  【构造抽屉】

  设 \(\{x\}\) 表示 \(x\) 的小数部分。于是 \(\{x\},\{2x\},\dots \{(N+1)x\}\) 必然存在两个落到区间 \([0,\frac 1N),\dots[\frac{N-1}N,1)\)，于是系数作差得到 \(q\)

• 设 \(f(x)\) 在有理数点值为其最简表示法的分母，无理数点值为 \(0\)，证明 \(f(x)\) 在任何开区间 \((a,b)\) 上都无界。

  Solution

  【从两个角度证明某种元素分别满足无穷个和有限个来推导矛盾】

  首先我们知道 \((a,b)\) 上是由无穷多个有理数的。如果有界 \(k\) 那么分母满足 \(1\le q\le k\)，那么任意有理数的分子 \(p\) 也要满足 \(p\in(aq,bq)\)，所以有理数变成了有限个，出现了矛盾。

第二章 极限

基础概念

• 邻域和空心邻域，没有包含关系。

  邻域就是有心的，空心邻域就是没心的。

• 无穷大数列一定是无界数列，但是无界数列不一定是无穷大数列。比如 \(\left\{\frac{(-1)^n+1}2n\right\}\)

• 无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，构造 \(\{\{x_n\}\}\) 满足 \(i=j\) 时 \(x_{i,j}=i^{i-1}\)，\(i<j\) 时 \(x_{i,j}=1\)，\(i>j\) 时 \(x_{i,j}=\frac1j\) 有限中建立的直观不一定准确

代数技巧

• Bernoulli 不等式 \((1+x)^n\ge 1+nx\) 在 \(x\to 0\) 时不等号趋近于等号。或者说 \((1+x)^n-1\) 和 \(nx\) 在 \(x\to 0\) 时是等价无穷小

  例题：\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+\alpha x}\sqrt[m]{1+\beta x}-1}{x}\)，记 \(y=\sqrt[n]{1+\alpha x},z=\sqrt[m]{1+\beta x}\)

  Solution

  标准证明是先将分子变成 \((y-1)(z-1)+(y-1)+(z-1)\) 那么拆开成三个极限。后面两个极限变成 \(\frac{\alpha (y-1)}{y^n-1}\) 和 \(\frac{\beta (z-1)}{z^m-1}\)，上下消掉 \(y-1\)（\(z-1\)） 因为在 \(y\to 1\) 时这不是 \(0\) 便可以得到了。

  剩下的是 \(\frac{y-1}{\sqrt x}\times \frac{z-1}{\sqrt x}\) 将 \(\sqrt x\) 变成 \(\sqrt{\dfrac{y^n-1}\alpha}\) 和 \(\sqrt {\dfrac{z^m-1}{\beta}}\) 上下把 \(y-1\) （或 \(z-1\)） 消掉之后，再把这个极限用乘法法则展开，上面还有一个 \(\sqrt {y-1}\)（或 \(\sqrt {z-1}\)） 自然是 \(0\) 咯

• 如果证明的过程中遇到了函数一段正一段负，让求极限，这时候不妨考虑这个极限是 \(0\) 的可能性，证明的一个方式是把它的绝对值放大 例题是：求 \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln\left(x\sin\left(\frac 1x\right)\right)\ln x\)

  Solution

  第一个对数用 \((x-1)\sim \ln x\) 拉出来，然后使用 \(\left|\frac{\sin x}x-1\right|\le 1-\cos x\) 得到 \(\text{原式}\le \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(1-\cos \frac1x)\ln x\)

  使用 \(\cos x\sim 1-\frac{x^2}2\) 处理即可。得到一个 \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{2x^2}\)

• \(\displaystyle \lim_{x\to \pi}\frac{\sin(mx)}{\sin{nx}}=(-1)^{n+m}\lim_{x\to \pi}\frac{\sin(m(x-\pi))}{\sin(n(x-\pi))}=(-1)^{n+m}\lim_{y\to 0}\frac{\sin (my)}{\sin (ny)}=(-1)^{n+m}\frac{m}n\)

• \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt n(n^{\frac1n}-1)=\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt[n]n-1}{\frac{\ln n}n}\times \left( \frac{\ln n}n\times \sqrt n\right)=\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{\sqrt n}\times \lim_{n\to \infty}\frac{e^{\frac {\ln n}{n}}-1}{\frac{\ln n}{n}}=1\)

  其实 \(x=e^{\ln x}\) 也是常见技巧了，不能掉以轻心。

证明技巧

• 利用 \(\epsilon-N\texttt{ 或者 }\epsilon-\delta\) 的等价定义来证。比如 \(|a_n-A|\le k\epsilon\) 甚至是只和 \(\epsilon\) 有关的 \(f(\epsilon)\)

  例题 1

  已知 \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n\to A\)，证明 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^n a_i}n\to A\)

  ---

  只说明 \(A=0\) 的情况，\(A\neq \infty\) 的其它情况代换 \(b_n=a_n-A\)。\(A=\pm\infty\) 基本可以说同理

  对于任意 \(\epsilon>0\) 取 \(N(\epsilon)\) 满足 \(n>N(\epsilon)\) 时 \(|a_n|\le\epsilon\)。于是

  \[\displaystyle n>N,|\frac{\sum_{i=1}^n a_i}n|=|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n+\frac{\sum_{i=N+1}^n a_i}n|\le \frac{n-N}n\epsilon+|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n| \]

  在 \(n\to \infty\) 时后面一项是趋近于 \(0\) 的，那么可以找到一个 \(N_1\) 使得 \(n>N_1\) 时 \(|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n|\le \epsilon\) 然后不等号右侧在 \(n>N_1\) 时小于 \(2\epsilon\) 证毕

  例题 2

  设 \(\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0\) 且 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(\frac x2)}x=0\) 证明 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}x=0\)

  ---

  \[\forall \epsilon >0 \exists \delta>0,0<|x|<\delta,|f(x)|<\epsilon,|f(x)-f(\frac x2)|<\epsilon|x| \]

  那么可以发现下式：\(|f(\frac x{2^t})-f(\frac x{2^{t+1}})|<\epsilon|\frac{x}{2^t}|\)

  于是我们做累加，得到 \(-2\epsilon|x|<f(x)-f(\frac{x}{2^{t+1}})<2\epsilon|x|\)

  此时不难发现 \(|\frac{f(x)-f(\frac{x}{2^{t+1}})}{x}|\le 2\epsilon\)，在 \(t\) 趋向于 \(+\infty\) 时减数为 \(0\)

• 证明有界性，需要将数据适当放大；对于无界性，需要将数据适当缩小。

  比如 \(\{\frac{n+1}{\sqrt n-1},n\ge2\}\) 的无界性，可以有 \(\frac{n+1}{\sqrt n-1}>\frac{n-1}{\sqrt n-1}=\sqrt n+1\) ，发散

• 证明数列收敛的方式除了按照定义和 Cauchy 收敛原理之外，还可以使用 单调有界必收敛 来声明

  例子 \(a_n=\sum\limits_{i=1}^n \frac 1i-\ln n\) 证明 \(a_n\) 收敛。

• 海涅定理，证明中有一个 part 使用了 构造数列 的技巧。

• \(f(x)\) 定义于 0 的某个空心邻域 \(U\) 对于任意 \(x\in U\) 都有 \(\lim\limits_{n\to +\infty}f(\frac xn)=0\) 则 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0 $ 错误。

  根据海涅定理，你发现这相当于是取了一个很特殊的序列 \(\{\frac xn\}\)，同时我们可以发现这个数列任意两项都是满足比值是有理数，所以我们构造一个任意两项比值都是无理数的无穷数列 \(A\)，让 \(f(x)\) 在这些点值取值另类，剩下的随波逐流。这样上面的 \(\{\frac xn\}\) 只有一项落入 \(A\)。

  一种构造是取 \(\{\frac1{\sqrt {prime}}\}\)

• 把 \(e\) 的定义式扩展到实数的时候，可以先声明整数的情况，本质上是声明了 \(\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac1{[x]})^{[x]}\)。我们可以使用函数单调性和迫敛性定理（夹逼准则）来找到上下两个整数把方括号去掉。

附录

英语单词

• domain 定义域
• range 值域