2025-10-14 ?

1. wasserstein 距离

   定义非常唬人。考虑两个分布 \(p(x),q(x)\)

   \[W(p,q) =\inf_{\gamma\sim \pi(p,q)} \mathbb E_{(x,y)\sim \gamma}\left[|x-y|\right] \]

   其中 \(\pi(p,q)\) 表示所有联合分布 \(\gamma(x,y)\) 满足边缘分布是 \(p,q\) 的 \(\gamma\) 的集合（向 x,y 两维做 projection 得到 p,q）

   考虑 \(p,q\) 定义在离散集合 \(1\dots n\) 上，这本质上是一个土壤移动问题。也就是说，初态 \(p_1,\dots p_n\) 单位土，终态 \(q_1\dots q_n\) 单位土，你可以将正实数 x 单位土挪到它相邻的位置上，花费 x，求最小代价。

   question: optimal 的 \(\gamma\) 是不是唯一的呢？

   这个式子描述的是分布的距离。之前用来描述分布距离的量是 KL 散度。但是 KL 散度有一个致命缺点：如果 p,q 重叠很有限的时候，这个值会非常不合理。所以我们可以使用 wasserstein 距离，来让两个分布之间距离过程性更强一些。（类似训练 rl agent 时给 01 reward 还是给一些 fine grained reward）

2. kurtosis

   感觉我看的教程真是没救了

   峰高的峰度大这个没问题。

   考虑两个 mean variance 都相同的 r.v. ，尾部（极端值）厚重的，肯定 kurtosis 大，在表达式维度容易理解，因为分子是四阶。

   那么峰度大也会代表极端值多。那么在金融市场就是黑天鹅时间频繁，风险高。