2025-10-10?

初始化 \(a_1 = 1 \dots a_n=n\)

execute the following code:

for i in range(1,n+1):
	j = random.randint(1,n)
	swap(a[i],a[j])

证明不能等概率得到 \(1\dots n\) 的随机排列

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这个题目可以引申很多知识，很有意思。

1. 怎么简单修改一下这个代码，使得能等概率随机生成 \(1\dots n\) 的排列：

   for i in range(1,n+1):
   	j = random.randint(i,n)
   	swap(a[i],a[j])
   

   为什么？

   首先我们发现上面的代码可以生成 \(n!\) 种序列，因为第一个位置可以选 n 个... 第 n 个位置可以选 1 个。

   考虑如果选的 \(j_1...j_n\) 和 \(j_1'...j_n'\) 生成了相同的序列：找到最靠前的满足 \(j_k \neq j_k'\) 的 \(k\)，那么我们发现进行完 \(1...k-1\) 这些 swap 操作之后，两个操作序列得到的结果相同。进行完 swap(a[k],a[j_k]) 和 swap(a[k],a[j'_k]) ，\(a_k\) 不会再发生任何变化了，不同就是不同了。

   那么不同的 \(j\) 序列得到的最终结果也会是不同的

2. 原题咋做。

   考虑有多少种 \(j\) 序列能把 \(a_1..a_n\) 在 swap 之后得到自己。考虑一张图有 \(n\) 个节点，从 i 向 \(j_i\) 连边，得到了一张 \(n\) 个点 \(n\) 条边的有向图。这是一个外向基环树森林。如果它不是由一个个环构成的，那么它一定不能将 \(1..n\) 变成 \(1..n\)

   考虑如果这个基环树森林是一些环构成的。考虑在环上的交换行为。在环长大于 3 的时候，每个元素都不能 “换过去再换回来”，也就是走一条长度为 2 的路径回到最开始的位置，而是一定要走一个长度为环长的路径回到原点。

   注意到每次连边，会让两个元素的移动距离+1，一个是 \(l^2\)，一个是 \(2l\)，肯定是不能满足的。而 \(l=2\) 时一定是可以满足的。

   此时基环树森林里面只有一元环和二元环，这样的选 \(j\) 的方案是：\(\sum\limits_{k=0}^{n/2} \binom{n}{2k} (2k)!!\)。总方案数 \(n^n\)。此时问题变成了 \(\sum\limits_{k=0}^{n/2} \binom{n}{2k} (2k)!!\neq \dfrac{n^n}{n!}\)

   好像这时候直接用右边不是整数就证毕了。这也引出了更直接的一个做法：

   如果希望题干代码的运行结果是等概率随机排列，需要满足生成的结果数量是 \(n!\) 的倍数，而 \(n^n\) 并不是。做完了。

不知道 jiayuan 能不能看到这篇博客，也不知道 jiayuan 知不知道什么是外向基环树森林。