唐题乱写

下面题目来自 bilibili 主页推送（我寻思着在一堆 cs2 /音乐/乒乓球/nba 的集合里面出现这种东西也确实挺抽象）

非图片部分是 solution，不想好好写公式了，让读者感受一下 xjb 写的效果。

problem 1

考虑 S 有 1023 个非空子集，每个子集都有一个取值。S 中的子集的元素和取值范围是 [0,(100-10+1 + 100)* 10/2]，比 [0,1000] 小

于是根据抽屉原理就能找到元素和值一样的 subset，如果他们有交集，做 xor

• remark.

  不同、相等两个关键词 \(\Rightarrow\) 抽屉原理。（我对应不出来，很菜。）
  什么是抽屉，什么是抽屉里面的东西，似乎能想到。

problem 2

考虑 M 为组数，A 为 \(n\times M\) 的 01 矩阵。\(A_{i,j}\) 表示第 i 个学生在第 j 个组里面。

视频里给的 std solution 很闹麻：考虑 \(AA^{T}\) 是一个对角线为奇数，其余位置元素为偶数的矩阵。它的 det 为奇数，于是它的 det 不为 0，于是它满秩。

另一方面，它的 rank \(\le\) min(rank(A),rank(\(A^T\)))\(\le\)min(n,M)，于是 M<=n。即不可能有 n+1 组。

• remark

  首先感觉这题有别的做法。于是下面给这个做法补充一些 motivation

  \(n+1\) 很奇怪。很难想到用 \(n+1\ge n\) 对应 \(rank(\texttt{满秩 [n+1,n+1] 矩阵}) \ge n\)。

  \(A\) 没啥问题，\(A\times A^T\) 也想不到。那么很难根据 [n+1,n+1] 形矩阵的结构分析 det 不为 0，更别提 det \(\neq\) 0 \(\Rightarrow\) 满秩。

problem 3

忘记在哪里见过这个 trick 了，凯哥说是课本上。感觉上是通过一个 math technique 造出来的题目，那么没 remark.

X 和 Y 都是服从 N(0,1) 的。取一个 Z 为和 Y 独立的随机变量，也服从 N(0,1)。

此时有 \(X = \rho Y + \sqrt {1-\rho^2} Z\)，此时 X Y 相关系数为 \(\rho\)

然后代入一下 standard normal distribution 的母函数就可以得到答案。

problem 4

设 \(a,b,c>0\) 为整数，求满足 \(33^a = 7^b + c\) 的最小的 c

考虑到每个 a，存在唯一一个 b 满足 \(7^b\le 33^a\le 7^{b+1}\)。由于 b 越来越大时 \([7^b,7^{b+1}]\) 这个区间也越来越大，那么 \(33^a\) 邻近区间左端点的可能性就很小了。不如 \(a=b=1\)。这时候 \(c = 26\)，是特解。看看能不能比这个特解小。

试着证明一下。用用同余。

1. 右边是 3 的倍数.

   c 模 3 余 2。过滤掉了 1~25 中的一些可能。

2. 右边 模 32/16/8/4/2 结果为 1。

   容易发现 7 的幂模 32 循环节明显比模 16 8 4 2 长。而模数越大筛子越细，能过滤掉的数字越多。拿 16 一过滤发现 1~25 中的数字没可能的了。

答案是 26

problem 5

设 \(B_t\) 为标准布朗运动。设 \(m_t = \min _{0\le T\le t} B_T\)。求 \(m_t,B_t\) 的联合分布。

设联合分布函数为 \(F(m,b)\)，设 standard normal distribution 的 cdf 为 \(\Phi(x)\)

这时候有些 case 要退化，比如：\(m\ge 0\) 或者 \(b\le m\)，都归到 \(P(B_t\le b)\) 即可，结果为 \(\Phi\left(\dfrac{b}{\sqrt t}\right)\)

剩下的部分用反射原理。对于前缀 min,我们只知道 \(P(m_t\le m,B_t\ge b)\) 能转化为 \(P(B_t\le a-(b-a))\)，进而用 \(\Phi\) 表示。所以要把 \(P(m_t\le m,B_t\le b)\) 变成 \((1-P(m_t\le m|B_t\ge b))\times P(m_t\le m)\)，再展开括号。

之前还有一个公式是 \(P(m_t\le m) = 2P(B_t\le m)\)，代入即可。

最终结果懒得汇总了。

bonus

已知 \(X\) 的 cdf 连续，证明 \(F(X)\sim U(0,1)\)

不写了