多元函数的极限与连续 概念总结

由于多元函数是定义在 \(n\) 维欧式空间上的，所以我们需要先给出一些关于 \(n\) 维欧式空间中的概念

n 维欧式空间

给定 \(n\) 维欧式空间中的点集 U，那么就可以引申出来大量的概念。

U 的内部的点

U 的边界点

U 的聚点

U 的触点

U 的闭包

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多元函数的极限

函数极限的定义都是大同小异的，也就是对于所有 \(\epsilon>0\) 都存在 \(\delta>0\) 使得邻域 \(U_{\delta}(X)\) 中的所有 \(X'\) 满足 \(|f(X')-a|<\epsilon\) 那么我们称 \(\lim\limits_{X'\to X}f(X') = a\)

多元函数和一元函数不同的是这里 \(X'\to X\) 的过程。如果自变量有 \(x_1\dots x_n\) 那么这些自变量之间可能满足很复杂的关系。例如 \((x,y)\to (0,0)\)，我们可以是 \(y=0,x\to 0\) 也可以是 \(y=x\) 或者 \(y=x^2\)

多元函数的连续

这和一元函数的连续也是一样，\(\forall \epsilon>0\) 都存在 \(X\) 的邻域 \(U_{\delta}(X)\) 满足邻域里面的点的函数值和\(f(X)\) 的差的绝对值不超过 \(\epsilon\)

邻域这个限制十分抽象，我们希望通过限制单个自变量（比如 \(f(X)\) 对于 \(x_1,\dots x_n\) 都连续）来达到一样的效果。

十分遗憾，\(f(X)\) 在 \(X_0\) 连续并不能用 将 \(f(X)\) 视为关于每个自变量的函数连续 推出。不过我们再施加一些新的条件也是可以说明的。例如：

在二元函数中，两维连续，一维单调；

或者 \(f\) 是紧集到紧集的映射；

或者 \(f\) 满足某种一致性：在 \(X_0=(x_0,y_0)\) 的邻域 \(U=\{(x,y)| |x-x_0|< \eta,|y-y_0|< \eta\}\) 中对于所有 \(\epsilon>0\),满足 \(\exists \delta>0\ s.t. \forall x \ s.t. |x-x_0|<\delta\) 都有 \(\forall 0<|y-y_0|<\eta\) 都有 \(|f(x,y)-f(x,y_0)|<\epsilon\)

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在连通集中连续函数满足介值定理。例如定义在集合 \(U={(x,y)|x^2+y^2 = r^2}\) 的连续函数 \(f\) 满足存在两个不同的点函数值相等。