【考试总结】2021-03-14

A.选拔赛

把两个数组拍一下序之后发现 \(a_x+c_y\) 的和一共只有 \(n^2\) 个，那么离散下来枚举前 \(k\) 个和的最小值

设 calc(i,j) 表示前 \(k\) 个数的和最小值和后面的数的和的最大值

对于当前的最小值，每个 \(i\le k\) 的 \(a_i\) 能选的 \(c_y\) 都是一个的后缀，得到这个后缀是 \(trivial\) 的

考虑这些后缀的长度是递减的，那么直接按照排序 减掉前面的数量就行

设 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个 \(c_i\) 中有 \(j\) 个被使用于前 \(k\) 个数

记录每个 \(c_i\) 在当前的 \(i,j\) 中可以在两边所取到的区间长度

这样分是不是加入前面 \(k\) 个数进行两种转移即可

B.跳跃

用线段树对 \(i\in [0,\log n]\) 维护每 \(2^i\) 步能到的区间

其实对于这个限制，如果存在 \(i\) 使得 \([r_i,n]\) 有一个点的 \(l_i>i\) 那么就成立，对于左边也是一样的

使用前后缀进行优化

在从大到小维护答案是不是可以被插入时，可以按照建树的方法求当前待拓展的答案的线段树

这样的话总的复杂度是 \(\Theta(n\log^2n)\)

C.切蛋糕

考虑对所有直接求一个交集，再和原图形求一个交集

这个需要半平面交，剩下的按照极角排序之后在大力分类讨论扫一扫就行了

然而不会半平面交，只能打 \(30'\) 的暴力

半平面交

平面上有一些凸多边形，求这些凸多边形的交（其实求出来并了以后周长和面积就可做了）

注意：叉积为 a.x*b.y-b.x*a.y 如果大于 \(0\) 说明两个向量成锐角，等于 \(0\) 表明垂直，小于 \(0\) 为钝角

那么做法如下：

先把第一个多边形当做 \(bas\)，对于新加入的每个多边形，依次加入所有边

加入边时枚举每个原来的边判断是不是有交点，如果有就求交点新加入直线

然后对于 \(\Theta(n\log n)\) 的做法，先把所有线按照极角排序，然后维护一个单调队列

还是分割平面，考虑对于原答案的更改一定是一定是删掉极角最大或小的一些区间，那么直接弹就好了

然后得到这个做法之后，为了避免分类讨论，我们把整个圆分成 \(k\) 个，把这些段弧当做直线考虑

然后一起做半平面交，把弧上的边打上标记

注意，使用结构体函数的时候会直接给 \(fl\) 一个随机值，记得重置

const int N=100010;
const double pi=acos(-1);
struct node{
    double x,y;
    node(){}
    node(double xx,double yy){x=xx; y=yy; return ;}
    node operator +(const node &a)const{return node(x+a.x,y+a.y);}
    node operator -(const node &a)const{return node(x-a.x,y-a.y);}
    node operator *(const node &a)const{return node(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
    inline double dist(){return sqrt(x*x+y*y);}
    node operator *(const double &a)const{return node(x*a,y*a);}
}p[N];
int k=10000,h=1,t,n,cnt; double R,ans[2];
inline double cross(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
struct line{
    node st,ed; double ang;
    bool rnd;
    line(){}
    line(node a,node b){st=a; ed=b; ang=atan2(ed.y-st.y,ed.x-st.x); rnd=0; return ;}
    bool operator <(const line &a)const{
        if(ang==a.ang) return cross(ed-st,a.st-st)<0;
        else ang<a.ang;
    }
}l[N],q[N];
inline node get(line a,line b){
    node da=a.ed-a.st,db=b.ed-b.st;
    return a.st+da*(cross(db,b.st-a.st)/cross(db,da));
}
signed main(){
    freopen("cut.in","r",stdin); freopen("cut.out","w",stdout);
    n=read(); scanf("%lf\n",&R);  
    for(reg int i=1;i<=n;++i){
        double a,h; scanf("%lf%lf",&a,&h);
        l[++cnt]=line(node(cos(a*pi/180),sin(a*pi/180))*h,node(cos(a*pi/180),sin(a*pi/180))*h+node(cos(a*pi/180+pi/2),sin(a*pi/180+pi/2))); q[i].rnd=0;
    }
    for(reg int i=0;i<k;++i){
        node p1=node(cos(pi*2/k*i),sin(pi*2/k*i));
        node p2=node(cos(pi*2/k*(i+1)),sin(pi*2/k*(i+1)));
        l[++cnt]=line(p1*R,p2*R);
        l[cnt].rnd=1;
    }
    sort(l+1,l+cnt+1);
    for(reg int i=1;i<=cnt;++i){
        if(i!=1&&l[i].ang==l[i-1].ang) continue; 
        while(h<t&&cross(l[i].ed-l[i].st,p[t-1]-l[i].st)<0) --t; 
        while(h<t&&cross(l[i].ed-l[i].st,p[h]-l[i].st)<0) ++h; 
        q[++t]=l[i];
        if(h<t) p[t-1]=get(q[t-1],q[t]);
    } 
    while(h<t&&cross(q[h].ed-q[h].st,p[t-1]-q[h].st)<0) --t; 
    p[t]=get(q[h],q[t]); p[h-1]=p[t];
    for(reg int i=h;i<=t;++i){
        if(q[i].rnd) ans[1]+=(p[i-1]-p[i]).dist(); 
        else ans[0]+=(p[i-1]-p[i]).dist();
    }
    printf("%.10lf %.10lf\n",ans[0],ans[1]);
    return 0;
}

恶心吗？不恶心。 不恶心吗？恶心。\(\texttt{That's true Polygen.}\)