「学习笔记」Link Cut Tree
定义
起源是有些树要动态加边或者删边，所以这时候用到了 \(lct\)
我们把 \(splay\) 放到外层作为外层树，每个点被包含在一个单独的 \(splay\) 中
其实这里主要是运用了 \(splay\) 可以区间反转的功能（当然可以 \(fhq\) 但是复杂度多一个 \(\log\)）
同时在 \(splay\) 里面中序遍历得到的点的深度是递增的，也就是说不一定在当前 \(splay\) 的根就是这个子树里面深度最浅的点
因此我们把边就得拆成实边和虚边，这里在同一个 \(splay\) 里面的边都是实边，而不在里面的边则是虚边
这里注意：父子连边不变，不是说当前 \(splay\) 的根连向下个 \(splay\) 的根来表示连边
那么就有一些定义
\(fa[x]:\) \(x\) 在 \(splay\) 里面的父亲，不是原树
\(ls[x],rs[x]\) 在 \(splay\) 里面的左右儿子，真树里面的连边都是靠 \(fa[son]=x\) 来的
操作
access
联通根到当前点的链
这个每个 \(splay\) 跟着做就行了，每次把当前点干到 \(splay\) 的根，然后改儿子
这里是把 \(rs[fat]=now\) ，根据深度的原则不难得到
所以简单的代码如下：
inline void access(int x){
for(reg int y=0;x;x=fa[y=x]) splay(x),rs[x]=y,push_up(x);
return ;
}
其实这里是换了个更的方式：把更新儿子的步骤放到了上面，这里被覆盖的儿子的父亲没变，但是父子关系变成了虚边
makeroot
指定根
很好说，直接打通链时候翻上去就行了，但是很坑的是这样的话没有深度保证
所以要翻转整个当前 \(splay\)，打标记即可，和普通 \(splay\) 没有区别
inline void pushroot(int x){
swap(ls[x],rs[x]); fl[x]^=1;
return ;
}
inline void makeroot(int x){
access(x); splay(x); pushroot(x);
return ;
}
findroot
找到原树上的根
换到根之就找左儿子，也就是：
inline int findroot(int x){
access(x); splay(x);
while(ls[x]) x=ls[x];
return splay(x),x;//多splay来保证复杂度……
}
当然这样写是非常慢的，那么特定场景下可以用并查集来进行替换和卡常
split
打通一条链，随便钦定一个点为根然后连上就行了
inline void split(int x,int y){
makeroot(x); access(y); splay(y);
return ;
}
然后直接查询 \(s[y]\) 就是这个路径上面的信息，需要理解一下为什么这样就能维护出来单独的路径
link
连接两个点之间的边
inline void link(int x,int y){
make_root(x); if(findroot(y)!=x) fa[x]=y;
return ;
}
cut
断开边，先把一个点转到必然是另一个的父亲然后判断合法性
也就是说：
inline void cut(int x,int y){
make_root(x);
if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ls[y]) return ;
//第一个是不在一个树上，findroot(y) 之后 x 是这个splay的根
//如果y的父亲不是x那么必然没有连边，考虑findroot中的更改
//如果有ls[y] 那么就有越级父亲
rs[x]=0; fa[y]=0; push_up(x);
return ;
}
这里写 \(lct\) 的 \(splay\) 和一般的不太一样，具体如下：
\((1)\) 维护一个是不是当前splay的根的函数：
inline bool isroot(int x){return ls[fa[x]]!=x&&rs[fa[x]]!=x;}
\((2)\) \(rotate\) 和 \(splay\) 的时候记得判断 \(z=fa[fa[x]]\) 的情况，不能找到另一个splay上面
\((3)\) 下方 \(makeroot\) 标记的时候要注意从上往下，原因可以手玩一下
这样的话板子就随便打了
功能
维护链上信息
其实本质上就是 \(split\) 一下，然后有各种打标记的方式
Luogu 1501
裸题，直接打标记就行了
Luogu 4332
显然改变一个 \([n+1,3n]\) 的点的本质会修改一条链上的答案
肯定是临界的会改，问题转化成了维护链上最深的 \(cnt[x]\) 不是 \(1/2\) 的点的位置
打通一条链的操作就是 \(access\) ，然后在平衡树上二分
具体而言就是 \(push\_up\) 维护几个子树面是不是都是 \(1/2\) 即可
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)
貌似有一个少 \(\log\) 的写法，就是记录子树里面的最深 \(val\neq 1/2\) 的点
如果修改值的话需要交换
这题写的原则就是多 $push_up $
维护双联通分量/联通性
Luogu2542
逆序之后考虑如何维护必经边
这个必经边容易让人想到点双，那么考虑缩点
每次如果 \(link\) 失败了就删掉环上的点，缩成一个新点，所有连的点都指向这个点
但是需要更改的是 \(access\) 的时候是要跳 \(find(fa[x])\) 的
维护生成树或者树边信息
边权很难维护，如果按照一些树题放到儿子上的话一变父子关系就废掉了
所以考虑拆点，把边权放到一个新的点上，因为比较优秀的编号方式，每个新点的 \(id>n\)
所以更改或者一些其他操作就好说了
link(e[i].id,e[i].x); link(e[i].id,e[i].y);
cur(e[i].id,e[i].x); cut(e[i].id,e[i].y);
NOI2014 魔法森林
看到是多维的先想降维，所以 \(sort\) 掉 \(a/b\)
那么然后的问题是如何维护一个用 \(a\) 最小的生成树
那么每次加边如果成环就断掉环上最大的 \(a\) 然后更新答案
为啥原来那么菜还要去抄题解呀
维护虚子树信息
记 \(s_i\) 表示虚子树信息，那么不一样的地方首先是 \(access\)
for(reg int y=x;x;x=fa[y=x]){
splay(x);
s[x]-=s[rs[x]],si[x]+=rs[x];
s[x]+=s[y],si[x]-=s[y];
rs[x]=y;
}
然后 \(link\) 的时候要先把 \(y\) 整到根上面，防止祖先的信息被记漏
inline void link(int x,int y){
make_root(x); if(findroot(y)==x) return ;
fa[x]=y; access(y); splay(y); si[y]+=s[x];
push_up(y); //真的别忘记了多push_up
return ;
}
BJOI2014 大融合
貌似线段树合并随便做？
如果 \(lct\) 的话考虑如果 \(split(x,y)\) 之后那么有剩下的边就是虚的了
那么维护上 \(s[x],si[x]\) 查询的时候回答 \(s[x]\times(s[y]-s[x])\)
维护树上染色联通块
SP16549
新建一个根作为 \(1\) 的父亲，对于修改颜色操作，就把原来父亲节点的边断开，连上新的
需要用 \(lct\) 维护虚子树的大小
