【学习笔记】组合恒等式

公式

• 对称性：

\[\binom n m=\binom n {n-m} \]

• 吸收恒等式：

\[\binom n m=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1} \]

推论：

\[m\binom n m=n \binom {n-1}{m-1} \]

\[(n-m)\binom n m=n\binom {n-1} m \]

本恒等式非常重要，可以将变量乘组合数转化为常量乘组合数，下有一个简单例子：

• Vandermonde 卷积

\[\sum_{a+b=k}\binom na\binom mb=\binom {n+m}k \]

证明使用实际含义即可，长得很类似的一个式子却有另外的结果：

\[\sum_{a+b=k} \binom a c \binom bd=\binom{k+1}{c+d+1} \]

这里 \(c,d\) 是给定的，实际含义是枚举第 \(c+1\) 个数字对应第几个，不难发现是不重不漏的

这种求和形式的公式都具有可拓展性，具体而言：

\[\sum_{\sum B_i=M}\prod_{i=1}^n \binom {B_i} {A_i}=\binom{M+n-1}{\sum A_i+n-1} \]

• 不知名公式：

\[\sum_{i=0} ^m\binom {n+i}n=\binom{m+n+1}{n+1} \]

证明还是考虑实际含义

可以解决下面的量是常量的组合数求和问题

范式推导

• \[\sum_k \frac{\binom mk}{\binom nk} \]

  使用阶乘式子消掉一侧的变量

• \[\sum_k k \binom{m-k-1}{m-n-1} \]

  使用吸收公式：

  \[(m-k)\binom {m-k-1}{m-n-1} =(m-n)\binom{m-k}{m-n} \]

  将 \(k\) 转化为 \(m-(m-k)\) 将其展开

  剩下的部分发现后边的 \(\displaystyle{\binom {m-k}{m-n}}\) 的下部是常量，平移变量后实际意义即可

• \[\sum_{k} \binom{l}{m+k}\binom{s+k}{n} (-1)^k = (-1)^{l+m}\binom{s-m}{n-l} \]

  证明是不朴素的（但是仍然是平凡的）：考虑对 \(l>0\) 归纳

  对于 \(l=0\) 时，只有 \(k=-m\) 能让 \(\rm{LHS}\) 有值

  而对于 \(l\ge 1\) 时，假设 \(l=x-1\) 时成立，使用杨辉三角进行改写式子后两边使用归纳的结论可以去掉求和符号

  最后将 \((-1)^{l+m+1}\) 修修变成减法挪到式子右边就又是杨辉啦！

  该公式是组合恒等式中不多的带容斥系数的公式之一