Codeforces1325D Ehab the Xorcist

Description

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给定整数 \(u\) , \(v\)

求一个长度最小的数组 \(a\)

使得 \(\sum a=v\) 同时 \(xor\space a=u\)

输出两行，第一行为长度，第二行为数组中的值

Solution

首先考虑无解的情况，如果在比较高的位置上数的 \(xor\) 为 \(1\) 而和为 \(0\) ，显然无解

所以 \(u>v\) 时无解

然后对位考虑，如果二进制最后一位的值不一样，显然无解（没有可以进位啥的）

（这里就保证 \(u\) 和 \(v\) 的奇偶性相同了吧）

然后是 \(u=v\) 的情形，这里特判一下 \(u=0\) ，只要一行，剩下的输 \(u\)

首先一波操作：

令 \(x=(v-u)>>1\)

有一种方案是 \([x,x,u]\)（挺神奇）

这是当下最小的情况

之后就是考虑两个数满足条件的构造了

这里有一个比较神的性质（可能是蒟蒻不知）

\(a+b\) \(=a \space xor \space b+2 \times(a \space and \space b)\)

（证明分类讨论一下就可以）

我们发现如果满足\(a+b=v\) 同时\(a\) \(xor\) \(b=u\)

则 \(a\) \(and\) \(b=x\)

再次对位考虑，如果\(x\)的某一位为\(1\)，那么 \(a,b\) 同时为 \(1\)，\(xor\)为 \(0\)

否则对于 \(xor\) 没有限制（\(a,b\) \((1,0)\)或\((0,0)\)会有不同的\(xor\)结果）

所以我们看\(u\) \(and\) \(x\) 的值

如果大于 \(0\) 就不满足

否则就有一组解为 \([x,u+x]\)

Code

signed main()
{
	int u=read(),v=read();
	if(u>v||(u&1)!=(v&1)) return puts("-1"),0;
	if(u==v){
		if(!u) puts("0");
		else printf("%lld\n%lld\n",1ll,u);
		return 0;
	}
	int x=(v-u)>>1;
	if(x&u) printf("3\n%lld %lld %lld",x,x,u);
	else printf("2\n%lld %lld\n",x,x^u);
	return 0;
}