蓝桥杯 k倍区间（第八届第十题）前缀和 组合数

标题： k倍区间


给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。


你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？


输入
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第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)


输出
-----
输出一个整数，代表K倍区间的数目。


例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5


程序应该输出：
6


资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms


请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。


注意：
main函数需要返回0;
只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
不能通过工程设置而省略常用头文件。


提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

第一次做用的是暴力法，两层for循环遍历子序列的起点和终点,和是k的倍数结果加1。提交只有25分，n平方的时间复杂度太大了。假设数组sum[i]储存的是前i项和，[i,j]的子序和即为sum[j]-sum[i-1]（i,j是第i项第j项），要为k的倍数，则需要(sum[j]-sum[i-1])%k==0,可转化为sum[i]%k==sum[j-1]%k。所以若sum[a]%k==sum[b]%k,a<b,则[a+1,b]子序和满足题意，若一组数里面有x个sum[i]%k相等，我们从中任意选择两个都满足条件，这是一个组合问题即$C_{x}^{2}$。

以示例数据为例：
sum[0]%2=0
sum[1]%2=1
sum[2]%2=1
sum[3]%2=0
sum[4]%2=0
sum[5]%2=1
分析：有三个0，三个1，所以结果$C_{3}^{2}$+$C_{3}^{2}$=6。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <sstream>
#include <climits>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;

int n,k,a;
long long res,sum[maxn];
int cnt[maxn];//保存取模的余数的数量

int main(){
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    cin>>n>>k;
    cnt[0]=1;//，因为下面是从1开始的，前0个数取模的余数为0，开始就有1个
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a;
        sum[i]=(sum[i-1]+a)%k;
        cnt[sum[i]]++;
        //这是求两两的组合数。每新增一个数，这个数可以与前面的数两两组合，所以直接加上前面数的数量
        res+=cnt[sum[i]]-1;
    }
    cout<<res;

}