数学竞赛

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Description

Portal -->
（那个qwq这个题面真的是太长了qwq所以还是传送一波比较好qwq）

Sample Input

111111000
1/2

Sample Output

63616161

HINT

打开一个科学计算器，依次按下\(arctan\)（或\(tan^{−1}\)）、 \(cos\) 、 \(arctan\)、 \(sin\) 、\(arctan\) 、 \(sin\) 、\(arctan\) 、 \(sin\)，会得到 \(0.5\) 。

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Solution

　　抱歉OI真的不只是信息竞赛

• 10%

　　这个是读题分吧qwq，能用7操作（也就是+1）且分母为1那就直接加就好了，\(p=q\)的时候先\(arctan\)一下然后再\(cos\)一下就好了

　　比较坑的是。。要分清楚当前到底是角度还是长度。。。（就是因为初始是长度且值为0所以才要先\(arctan\)一下不能直接\(cos\)）
　　

• 30%

　　大力构造一波，反过来从\(\frac{p}{q}\)推回\(0\)，那就是用7和8操作，如果当前分数大于1那就减一（也就是执行一步7操作到当前），小于1就取倒数（也就是执行一步8操作到当前），记录一路上的操作最后反着输出就好了
　　

（其他pts不太会qwq）
　　

• 100%

　　正解的做法很优美啊qwq（疯狂%sk大佬）

　　现在我们不能用7,8,9这三个友善的操作了qwq而是要去面对一堆三角函数。。。然而如果有7和8操作的话整个求解过程就十分简单了

　　那么就。。考虑能否用三角函数组合起来达到7和8操作的效果，也就是\(x=x+1\)和\(x=\frac{1}{x}\)的效果

　　\(x+1\)不太好搞，那先看\(x=\frac{1}{x}\)

　　会发现

\[\begin{aligned} &arctan(90^\circ -x)=\frac{1}{x}\\ &90^\circ-x=arccos(sin(x)) \end{aligned} \]

　　所以先\(sin\)一下\(arccos\)一下，再\(arctan\)一下就可以得到倒数了

　　

　　然而还是不能搞出\(x=x+1\)，那就搞一下9操作也就是\(x=\sqrt{x^2+1}\)咯。。（长得像个勾股式的样子）

\[\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}&=cos(arctan(x))\\ \sqrt{x^2+1}&=\frac{1}{cos(arctan(x))}\\ \end{aligned} \]

　　然而还是不能搞出\(x=x+1\)

　　但是！如果说我们维护的是\(\sqrt{x}\)，9操作其实就是将\(\sqrt{x}\)变成了\(\sqrt{x+1}\)，也就是说当我们只考虑\(\sqrt{x}\)的时候，上面的两条式子就是取倒数和加一两种操作（！！！）

　　那么，我们只要用上面的两种操作，沿用30%子任务中的构造方式，求出\(\frac{p^2}{q^2}\)就好了

　　（抱歉我是真的想不到qwq哇真的sk太强了疯狂%%%）

​ 　　

　　题外话：然而yxq巨佬用spfa碾过了这题对没错spfa（因为\(p\)和\(q\)的范围很小啊），也是全部换成根号考虑，顺利有理化qwq

　　代码大概长这样

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
char s[10];
int p,q;
void solve(int p,int q);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	char ch;
	scanf("%s",s);
	scanf("%d%c%d",&p,&ch,&q);
	if (p==0) return 0;
	p*=p; q*=q;
	solve(p,q);
}

void solve(int p,int q){
	if (p==q){
		printf("63");
		return;
	}
	int tmp=0;
	while (p>=q) p-=q,++tmp;
	if (p){
		solve(q,p);
		printf("6145");
	}
	for (int i=1;i<=tmp;++i) printf("636145");
}