求 最大公约数和最小公倍数

  　　最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd。最简单的是求2个整数的最大公约数。常见的算法是辗转相除法。

辗转相除法，又称欧几里得算法。结果为非零的除数即为最大公约数。

原理及其详细证明

　　设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

　　第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

　　第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

     第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

   第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】

  从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

 　证毕。

非递归算法如下：

int gcd(int m,int n)
{
    if(m<n) //m为最大的
    {
        int tmp=m;
        m=n;
        n=tmp;
    }
    if(n==0)
        return m; //除了0以外的所有自然数都是0的约数。
    while(n!=0)
    {
        int tmp=m%n;
        m=n;
        n=tmp;
    }
    return m;
}

要考虑0 的约数问题。看定义：整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。从这个来看0可以任何非0自然数的倍数，

递归算法：

int gcd2(int m,int n)
{
    if(m<n)
    {
        int tmp=m;
        m=n;
        n=tmp;
    }
    if(n==0)
        return m;  //这个很关键
        
    else
        return gcd(n,m%n);

}

gcd(6,4)
　　|
　　gcd(4,2)
　　　　|
　　　　gcd(2,0)
　　　　　　|
　　　　　　n==0,返回2 ，程序最终返回2

 

　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。，和欧几里德算法算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

 　gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

 

   gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

 

　当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

1.如果A=0，B是最大公约数，算法结束
2.如果B=0，A是最大公约数，算法结束
3.设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
4.如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
5.如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
6.如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
7.如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
8.n++，转4

 

   特别注意 看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，似乎x和y直接向小转化没有什么太好的办法，我们可以绕个道，把x和y向偶数靠拢去化小。不妨设x>y，我们注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 g_c_d( x+y,x-y ) = 2 * g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 g_c_d( x,y ) 与 g_c_d( x+y,x-y ) 以及 g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便我设

          m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，

        有   m+n=x ，m-n=y 。

设 a = g_c_d( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 g_c_d( m,n )<= g_c_d(x,y)。再设 b = g_c_d( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 g_c_d( x,y ) <= g_c_d( m,n )。所以 g_c_d( x,y ) = g_c_d( m,n ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )。

我们来整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 g_c_d( x,y ) =2g_c_d( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 g_c_d( x,y ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶   g_c_d( x,y ) = g_c_d( x,y/2 )；
3.x偶y奇   g_c_d( x,y ) = g_c_d( x/2,y )  或 g_c_d( x,y )=g_c_d( y,x/2 )；
现在我们已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 g_c_d( x,x ) = x ，我们就用这个。

 int gcd(int a,int b)
{
    if(a<b)
    {
        int tmp=a;
        a=b;
        b=tmp;
    }
    if(b==0)//the base case
        return a;
    if(a%2==0&&b%2==0) //a b are even
        return 2*gcd(a/2,b/2);
    if(a%2==0) //only a is even
        return gcd(a/2,b);
    if(b%2==0) //only b is even
        return gcd(a,b/2);
    return gcd( (a+b)/2, (a-b)/2 ); //a b are odd
}

快速的版本：http://blog.csdn.net/ztj111/article/details/1905015

unsigned int stein( unsigned int x, unsigned int y )
/* return the greatest common divisor of x and y */
{
unsigned int factor = 0;
unsigned int temp;
if ( x < y ){
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
if ( 0 == y ) return 0;
while ( x != y )
{
if ( x & 0x1 )
{/* when x is odd */
if ( y & 0x1 )
{/* when x and y are both odd */
y = ( x - y ) >> 1;
x -= y;
}
else
{/* when x is odd and y is even */
y >>= 1;
}
}
else
{/* when x is even */
if ( y & 0x1 )
{/* when x is even and y is odd */
x >>= 1;
if ( x < y )
{
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
}
else
{/* when x and y are both even */
x >>= 1;
y >>= 1;
++factor;
}
}
}
return ( x << factor );
}

 

更相减损术

转载文章：

更相减损术,又称"等值算法"

关于约分问题,实质是如何求分子,分母最大公约数的问题。《九章算术》中介绍了这个方法,叫做”更相减损术”,数学家刘徽对此法进行了明确的注解和说明,是一个实用的数学方法。

例：今有九十一分之四十九,问约之得几何?

我们用(91,49)表示91和49的最大公约数.按刘徽所说,分别列出分子,分母。

“以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者皆等数之重叠,故以等数约之。”

译文如下：

约分的法则是：若分子、分母均为偶数时，可先被2除，否则，将分子与分母之数列在它处，然后以小数减大数，辗转相减，求它们的最大公约数，用最大公约数去约简分子与分母。

其与古希腊欧几里德所著的《几何原本》中卷七第一个命题所论的相同。列式如下:

91 49

42 49

42 7

35 7

28 7

21 7

14 7

7  7

这里得到的7就叫做“等数”,91和49都是这等数的重叠(即倍数),故7为其公约数.而7和7的最大公约数就是7,(7,7)=7,所以(91,49)=(42,7)=(7,7)=7

更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值.吴文俊教授说:“在我国,求两数最大公约数即等数,用更相减损之术,将两数以小减大累减以得之,如求24与15的等数,其逐步减损如下表所示:(24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)

每次所得两数与前两数有相同的等数,两数之值逐步减少,因而到有限步后必然获得相同的两数,也即所求的等数,其理由不证自明。

这个寓理于算不证自明的方法,是完全构造性与机械化的尽可以据此编成程序上机实施”.吴先生的话不仅说明了此法的理论价值,而且指明学习和研究的方向.

更相减损法很有研究价值,它奠定了我国渐近分数,不定分析,同余式论和大衍求一术的理论基础.望能仔细品味。

代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
     while(a != b)
     {
          if(a>b) a -= b;
          else b -=a;
      }
       return a;
}