BZOJ 3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

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Description

 傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子,而且她非常非常地有爱心,很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不,幻想乡突然发生了地震,所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方,那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的,一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系,全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间,第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后,由于幽香是一位人生经验丰富,见得多了的长者,她根据以前的经验,知道每次地震以后,每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了,她可以使用一个神奇的大魔法,能够选择需要的那n-1条边,同时开始修复,那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值,然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前,她想知道修复完成的时间的期望是多少呢? 

Input

第一行两个数n,m,表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。 
接下来m行,每行两个数a,b,表示点a和点b之间原来有一条边。 
这个图不会有重边和自环。 

Output

一行输出答案,四舍五入保留6位小数。 

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT

 

提示: 

(以下内容与题意无关,对于解题也不是必要的。) 

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn,第k小的那个的期望值是k/(n+1)。 
 
样例解释: 

对于第一个样例,由于只有4条边,幽香显然只能选择这4条,那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望,由提示中的内容,可知答案为0.8。 
 

数据范围: 

对于所有数据:n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。 

对于15%的数据:n<=3。 

另有15%的数据:n<=10, m=n。 

另有10%的数据:n<=10, m=n(n-1)/2。 

另有20%的数据:n<=5。 

另有20%的数据:n<=8。

Source

 
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提示里的东西还是有必要看一下的,因为有了这个式子,所以我们只需要关心在最小生成树中最大边的期望排名,最终答案就是其除以$m+1$。

$$ans=\sum{F(x)P(x)}=\sum{\frac{xP(x)}{m+1}}=\frac{\sum{xP(x)}}{m+1}=\frac{H}{m+1}$$

其中$F(x)$代表排名第x的随机变量的期望值,$P(x)$代表最小生成树中最大边排名为$x$的概率,$H$代表最大边排名的期望。所以我们只需要求出$H$就好。

$$H=\sum{xP(L=x)}=\sum{P(L\geq x)}=\sum{T(x-1)}$$

其中$P(L=x)$表示最小生成树的最大边排名为$x$的概率,$P(L\geq x)$表示最小生成树最大边排名大于等于$x$的概率,$T(x)$表示用排名严格小于$x$的边不能组成生成树的概率。

所以问题转化为求$T(x)$的和,等同于选取$x$条边不能组成生成树的概率?我们只需要知道所有合法方案数,除以总方案数就是$T(x)$了。

我们用$f[s][i]$表示在$s$点集内选取$i$条边,使得$s$不连通的方案数;用$g[s][i]$表示在$s$点集内选取$i$条边,使得$s$联通的方案数。容易发现——

$$f[s][i]+g[s][i]=C_{edge(s)}^{i}$$

其中$edge(s)$表示$s$点集内部边的数量。

转移时,我们在$s$内选择一个点$p$,考虑这个点处于哪个联通块内,即枚举一个$s$的真子集$t$,使得$p\in t$,有

$$f[s][i]+=g[t][j]*C_{edge(s-t)}^{i-j}$$

所以就能求出$f$函数了,KO~~~。

 

 1 #include <cstdio>
 2 
 3 typedef long long lnt;
 4 
 5 const int mxn = 11;
 6 const int mxm = 46;
 7 const int siz = 1 << mxn;
 8 
 9 int n, m;
10 
11 int e[siz];
12 int s[siz];
13 int d[siz];
14 lnt c[mxm][mxm];
15 lnt f[siz][mxm];
16 lnt g[siz][mxm];
17 
18 double ans = 0.0;
19 
20 signed main(void)
21 {
22     scanf("%d%d", &n, &m);
23     
24     for (int i = 0, x, y; i < m; ++i)
25     {
26         scanf("%d%d", &x, &y);
27         
28         e[x - 1] |= (1 << y - 1);
29         e[y - 1] |= (1 << x - 1);
30     }
31     
32     for (int i = 0; i <= m; ++i)
33     {
34         c[i][0] = c[i][i] = 1;
35         
36         for (int j = 1; j < i; ++j)
37             c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
38     }
39     
40     for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
41         s[i] = s[i >> 1] + (i & 1);
42     
43     for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
44     {
45         for (int j = 0; j < n; ++j)
46             if ((i >> j) & 1)
47                 d[i] += s[e[j] & i];
48         
49         d[i] >>= 1;
50     }
51     
52     for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
53         if (s[i] == 1)
54             g[i][0] = 1;
55         else
56         {
57             int t = i & -i;
58             
59             for (int j = (i - 1) & i; j; j = (j - 1) & i)
60                 if (j & t)
61                 {
62                     for (int a = 0; a <= d[j]; ++a)
63                         for (int b = 0; b <= d[i ^ j]; ++b)
64                             f[i][a + b] += g[j][a] * c[d[i ^ j]][b];
65                 }
66             
67             for (int j = 0; j <= d[i]; ++j)
68                 g[i][j] = c[d[i]][j] - f[i][j];
69         }
70     
71     for (int i = 0; i <= m; ++i)
72         ans += 1.0 * f[(1 << n) - 1][i] / c[m][i];
73     
74     ans /= 1.0 * (m + 1);
75 
76     printf("%.6lf\n", ans);
77 }

 

@Author: YouSiki

posted @ 2017-02-24 09:36  YouSiki  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏