拉格朗日反演学习笔记

拉格朗日反演

用于在\(O(n\log n)\)的时间内求\([x^n]G(x)\),其中\(G(x)\)满足\(F(G(x))=x\)\(F(x)\)已知,且\([x^0]F(x)=[x^0]G(x)=0,[x^1]F(x) \neq 0,[x^1]G(x) \neq 0\)

这里有个小结论(我不会证):若\(F(G(x))=x\),则\(G(F(x))=x\)

\(g_i=[x^i]G(x)\),代入\(G(F(x))=x\)得到

\[\sum_{i=1}^{\inf} g_i\times F^i(x) = x \]

两边求导得

\[\sum_{i=1}^{\inf} g_i\times i \times F^{i-1}(x) \times F'(x) = 1 \]

考虑两边除以\(F^n(x)\),并取\([x^{-1}]\)的系数:

\[[x^{-1}]\sum_{i=1}^{\inf} g_i\times i \times F^{i-n-1}(x) \times F'(x) = [x^{-1}]\frac{1}{F^n(x)} \]

\(i\neq n\)时,\(F^{i-n-1}(x)F'(x)\)等价于\(\frac{1}{i-n}(F^{i-n})'(x)\),而任何函数求导后\(-1\)次项均为0,所以上式可以转化为:

\[[x^{-1}] g_n\times n \times \frac{F'(x)}{F(x)}=[x^{-1}]\frac{1}{F^n(x)} \]

对于\(\frac{F'(x)}{F(x)}\),有:

\[\begin{aligned} \frac{F'(x)}{F(x)} &= \frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+...}{a_1x+a_2x^2+a_3x^3...}\\ &= \frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+...}{a_1x}\times\frac{1}{1+\frac{a_2}{a_1}x+\frac{a_3}{a_1}x^2+...} \end{aligned} \]

根据多项式求逆,后面那个多项式的常数项为\(1\),而前面那个多项式的\(-1\)次项的系数为1,于是\([x^{-1}]\frac{F'(x)}{F(x)}=1\)

代入得

\[g_n=[x^{-1}]\frac{1}{nF^n(x)} \]

再令\(F'(x)=F(x)/x\),原式就有:

\[g_n=[x^{n-1}]\frac{x^n}{nF^n(x)}=[x^{n-1}]\frac{1}{nF'^n(x)} \]

于是就可以\(n \log n\)求第\(n\)次项了。

扩展拉格朗日反演

用于在\(O(n\log n)\)的时间内求\([x^n]G(x)\),其中\(G(x)\)满足\(F(G(x))=H(x)\)\(H(x)\)已知。

那么:

\[g_n=[x^{n-1}]\frac{H'(x)}{nF'^n(x)} \]

证明与上面类似。

posted @ 2021-08-03 17:00  FakeDragon  阅读(68)  评论(0编辑  收藏  举报