数据结构(借鉴408)-树与二叉树

数据结构 树和二叉树

树

树的性质

存储形式

• 双亲表示法
• 孩子兄弟表示法
• 孩子链表表示法

二叉树

有序树

二叉树的性质

• 顺序存储结构 数组 一般只有完全二叉树才采用顺序结构进行存储

• 链式存储结构

  //二叉树的链式存储结构
  typedef struct BTNode{
  ElemType data;
  struct BTNode *Lchild, *Rchild;
  }BTNode;

二叉树的遍历

• 先序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历
• 层次遍历

先序遍历是入栈前访问
中序遍历是出栈之后访问

二叉树的生成：中序遍历区分左右子树，先序、后序、层次确定根

先序遍历

//递归 系统栈
void PreorderTraverse(BTNode *T){
if(T == NULL) return; //访问根结点
printf(T->data);
PreorderTraverse(T->Lchild);
PreorderTraverse(T->Rchild);
}
//非递归 用户栈

中序遍历

//递归 系统栈
void inorderTraverse(BTNode *T){
if(T == NULL) return; //访问根结点
inorderTraverse(T->Lchild);
printf(T->data);
inorderTraverse(T->Rchild);
}
//非递归 用户栈

后序遍历

//递归 系统栈
void postorderTraverse(BTNode *T){
if(T == NULL) return; //访问根结点
postorderTraverse(T->Lchild);
postorderTraverse(T->Rchild);
printf(T->data);
}
//非递归 用户栈

层次遍历

利用队列实现

define MAX_NODE 50

void LevelorderTraverse(BTNode *T){
BTNode *Queue[MAX_NODE], *p=T;
int front=0, rear=0;
if(p!=NULL){
Queue[rear++]=p; //根结点入队
while(front<rear){
p=Queue[front++];
visit(p->data);
if(p->Lchild != NULL)
Queue[rear++]=p->Lchild; //左结点入队
if(p->Rchild != NULL)
Queue[rear++]=p->Rchild; //右结点入队
}
}
}

线索二叉树

线索 遍历基础上，直接前驱或后继

树和二叉树的转换

树->二叉树 左孩右兄

哈夫曼树

WPL(带权路径长度)值最小的树，即哈夫曼树或最优树

构建：优先处理权值小的结点，自下向上进行构造
哈夫曼编码：左0右1

特点：

• 哈夫曼树只有0度结点和2度结点 n0=n2+1
• 哈夫曼树的WPL值最小
• 哈夫曼树不唯一，因为其左右子树可以交换，但是WPL值唯一
• 哈夫曼树本质上不属于二叉树，但考试中认为是
• 哈夫曼树的上层结点的权值不小于下层结点的权值
• 哈夫曼编码只讨论叶子的编码

平均编码长度 = WPL/(W的和）

并查集

Union-Find Sets
主要用于处理一些不相交集合的合并及查询问题

常见用途

• 求连通子图
• 求最小生成树的Kruskal算法
• 求最近公共祖先（Least Common Ancestors，LCA）

操作时间复杂度 常数级

操作：

• Make-Set(x) 建立一个新的并查集，其中包含元素x
• Union(x,y) 把元素x和元素y所在的集合合并，要求x和y所在的集合不相交，若相交则不合并
• Find-Set(x) 找到元素x所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以

实现原理：树表示集合，树的每个结点表示集合中的一个元素，根对应的元素就是该集合的代表。

路径压缩：每次查找时，令查找路径上的每个结点都直接指向根结点

按秩合并：使用秩表示树高度的上界，在合并时，从事将具有较小秩大的树根指向具有较大秩的树根（将比较矮的树作为子树，添加到较高树中）

按集合中包含的元素个数（或者树中的结点数）合并，并包含结点较少的树根指向包含结点较多的树根

本文修订依据：ISO/IEC JTC 1/SC 22/WG14 C11 委员会草案 N1570，§6.8.6 的 return expressionopt ; 语法及 §6.8.6.4 的无表达式 return 规则。本文仅在三个 void 遍历函数中的 if(T == NULL) return 后补上必需的分号，未改动遍历算法或其他教学内容。

AI 修改声明： 本文由 LLM 协助修订，最近修改时间：2026-09-25 14:18（UTC+08:00）。修订仅补齐三个 return 语句的 C 语法分号。