数论之模运算+快速幂

模运算

/定义

　　取模运算为a除以m的余数，记为：a mod m = a % m

取模的结果满足0 ≤ a mod m ≤ m-1，题目用给定的m限制计算结果的范围。例如m=10，输出结果为原数的个位

/性质

　　加：( a + b ) mod m = (( a mod m ) + ( b mod m )) mod m

　　减：( a - b ) mod m = (( a mod m ) - ( b mod m )) mod m

　　乘：( a × b ) mod m = (( a mod m ) × ( b mod m )) mod m

　　注意：没有除法！！

　　　　　( a / b ) mod m =(( a mod m ) / ( b mod m )) mod m

　　打个比方 ( 100 / 50 ) mod 20 = 2，(( 100 mod 20 ) / ( 50 mod 20 )) mod 20 = 0 ，但 2 ≠ 0

快速幂

直接上代码。。

ll fastpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(a*ans)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

假设要计算aⁿ, 当n很大时，例如n=10⁹，如果直接计算，就会发现计算结果的数字太大，计算结果的时间复杂度也是O(n)。

为了降低时间复杂度，我们采用快速幂的方法，用二进制表示n，然后将aⁿ表示为多个2的指数幂的和

由于幂运算的结果非常大，常常会超过变量类型的最大值。因此，建议在运算过程中就对每一个a进行取模，然后将它们相乘，最后再计算取模值。

矩阵快速幂

m×m的矩阵A，求它的n次幂

复杂度：矩阵乘法O(m³)，快速幂O(log₂ n)，合起来O(m³log₂ n)

上代码

const int MAXN=2;//定义矩阵的阶
const int MOD=1e4;//定义模
struct Matrix{//定义矩阵
    int m[MAXN][MAXN];
    Matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
Matrix Multi(Matrix a,Matrix b){//矩阵乘法
    Matrix res;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        for(int j=0;j<MAXN;j++){
            for(int k=0;k<MAXN;k++){
                res.m[i][j]=(res.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%MOD;
            }
        }
    }
    return res;
}

Matrix fastm(Matrix a,int n){//快速幂
    Matrix res;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){//初始化
        res.m[i][i]=1;
    }
    while(n){
        if(n&1){
            res =Multi(res,a);
        }
        a=Multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}

努力不秃兔

数论之模运算+快速幂

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