树状数组 && 线段树应用 -- 求逆序数

参考：算法学习（二）——树状数组求逆序数 、线段树或树状数组求逆序数（附例题）

应用树状数组 || 线段树求逆序数是一种很巧妙的技巧，这个技巧的关键在于如何把原来单纯的求区间和操作转换为 求小于等于a的数的总数 再转换为 求序列里大于a的数的总数，学习这个技巧源于一道题目 poj 3067 Japan （一道需要YY后运用这个技巧求解的题目），此外这个技巧也让我联想到 树状数组区间加/单点求值的技巧（基于区间加法的思维），话不多说，开始正题。

 

一、什么是逆序数？

  在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。

  举个栗子：如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4。

 

二、如何用树状数组求逆序数？

1、定义： a[ i ] 储存原始序列（事实上只需要一个变量 a 就ok了）, i 即 出现的顺序；c[ k ] 树状数组 k 为 a[ i ]。

2、步骤：按顺序输入储存原始序列 a[ i ] ， 输入的同时维护 c[ i ] , a[i] 出现 c[ a[i] ] 则加一， add（a[ i ], 1)；所以用数组数组求（1， a[i]) 的区间和的意义就变成了统计小于等于 a[ i ] 的数的个数， 若当前序列总数为 N， 则 N - sum( a ) 就是长度为N的序列中比 a 大的数字的总数了。

3、举个栗子：2431   ans = 0 + 0 + 1 + 3 = 4;   分别是(21, 43, 41, 31)。

i	a[ i ]	k	c[ 1 ] ~ c[ 4 ]	i - sum( k )
1	2	2	0 1 0 0	1 - 1 = 0
2	4	4	0 1 0 1	2 - 2 = 0
3	3	3	0 1 1 1	3 - 2 = 1
4	1	1	1 1 1 1	4 - 1 = 3

              

 

 

 

 

 

4、贴个代码：

///树状数组求逆序数
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1001;
int c[MAXN];
int N;

int lowbit(int x) ///实现树状数组需要的基本函数
{
    return x&(-x);
}

void add(int i, int value)
{
    while(i <= N)
    {
        c[i]+=value;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int sum(int i)
{
    int res = 0;
    while(i > 0)
    {
        res+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d", &N))
    {
        int ans = 0;
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for(int i = 1; i <= N; i++)
        {
            int a;
            scanf("%d", &a);
            add(a, 1);
            ans+=i-sum(a);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

 

三、如何用线段树求逆序数

与树状数组原理，只不过实现的区间求和的方式不同罢了

直接贴代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = 51000;
int ans[maxn];
struct node{
    int num,l,r;
}tree[maxn<<2];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
    tree[m].l=l;
    tree[m].r=r;
    if(tree[m].l==tree[m].r){
        tree[m].num=0;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    Build(L(m),l,mid);
    Build(R(m),mid+1,r); //并不要回溯， 建立空树
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        tree[m].num+=x; return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    if(r<=mid)
        Insert(L(m),l,r,x);
    else if(l>mid)
        Insert(R(m),l,r,x);
    else{
        Insert(L(m),l,mid,x);
        Insert(R(m),mid+1,r,x);
    }
    tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
        return tree[m].num;
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    if(r<=mid)
        return Query(L(m),l,r);
    if(l>mid)
        return Query(R(m),l,r);
    return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
    int a,n,i,t;

        int k=0;
        scanf("%d",&n);
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        Build(1,1,n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&ans[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            Insert(1,ans[i],ans[i],1);// 每个位置插入1
            k+=(i - Query(1,1,ans[i]));
        }
        printf("%d\n",k);

    return 0;
}

 

 

四、几道题目

1、HDU 1394

思路：树状数组+暴力（每次a[ i ] 掉到最后的时候 减去比 a[ i ] 小的数, 加上比 a[ i ] 大的数）

Ac Code:

///HDU 1394 树状数组

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int MAXN = 5005;

int N;
int c[MAXN], a[MAXN];

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void add(int i, int value)
{
    while(i <= N)
    {
        c[i]+=value;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int sum(int i)
{
    int res = 0;
    while(i > 0)
    {
        res+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    //printf("%d\n" ,res);
    return res;
}

int main()
{
    int cnt = 0;
    while(~scanf("%d", &N))
    {
        cnt = 0;
        memset(c, 0, sizeof(c));
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 1; i <= N; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            a[i]++;
            add(a[i], 1);
            cnt+=i-sum(a[i]);
        }

        int ans = cnt;
        //printf("%d\n", ans);
        for(int i = 1; i <= N; i++)
        {
            a[i]--;
            cnt = cnt-a[i]*2+N-1;
            ans = min(ans, cnt);
            //printf("%d\n", ans);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}