[bzoj2159]Crash 的文明世界——动态规划

题目大意：

给定一棵树，求每一个点的\(s(i)=\sum_{j=1}dis(i,j)^k\)。

思路：

题目所求\(s(i)=\sum_{j=1}dis(i,j)^k\)，考虑\(k\)次幂的组合意义，\(x^k\)表示\(k\)个不同的物品放入\(x\)个不同的箱子里面，即\(x^k=\sum_{i=1}^{x}{x \choose i}{k\brace i}\times i!\)。

对于每一个点\(u\)，我们所求的就是：

\[\begin{aligned} &\sum_{i}\sum_{j=1}^{k}{dis(u,i)\choose j}{k\brace j}\times j!\\ &=\sum_{j=1}^{k}{k\brace j}\times j!\sum_{i}{dis(u,i)\choose j}\\ \end{aligned} \]

设\(f_{u,j}\)表示点\(u\)的子树内组合数下标为\(j\)的\(\sum_{i}{dis(u,i)\choose j}\)，其中距离转移过来时需要强制+1，这可以利用组合数的简单递推公式来实现，不难得到状态转移方程：

\[f_{u,j}=f_{son,j}+f_{son,j-1} \]

设\(g_{u,j}\)表示整个树上和\(u\)相关的节点的组合数和，同理可得状态转移方程：

\[g_{u,j}=f_{u,j}+g_{fa,j}-(f_{u,j}+f_{u,j-1})+g_{fa,j-1}-(f_{u,j-1}+f_{u,j-2}) \]

然后就愉快的写完了。

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 * Author : ylsoi
 * Time : 2019.1.28
 * Problem : bzoj2159
 * E-mail : ylsoi@foxmail.com
 * ====================================*/
#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("bzoj2159.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2159.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	_=0; T fl=1; char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fl=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(ch^'0');
	_*=fl;
}

const int maxn=5e4+10;
const int maxk=150+10;
const int mod=10007;
int n,k,f[maxn][maxk],g[maxn][maxk],ans[maxn];
int beg[maxn],las[maxn<<1],to[maxn<<1],cnte=1;
int fac[maxk],S[maxk][maxk];

void add(int u,int v){
	las[++cnte]=beg[u],beg[u]=cnte,to[cnte]=v;
	las[++cnte]=beg[v],beg[v]=cnte,to[cnte]=u;
}

void math_init(){
	fac[0]=1;
	REP(i,1,k)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	S[0][0]=1;
	REP(i,1,k)REP(j,1,i)
		S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%mod;
}

void ad(int &_,int __){
	_=(_+__)%mod;
}

void dfs1(int u,int fh){
	for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
		int v=to[i];
		if(v==fh)continue;
		dfs1(v,u);
		REP(j,0,k){
			ad(f[u][j],f[v][j]);
			if(j)ad(f[u][j],f[v][j-1]);
		}
	}
	ad(f[u][0],1);
}

void dfs2(int u,int fh){
	for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
		int v=to[i];
		if(v==fh)continue;
		REP(j,0,k){
			ad(g[v][j],f[v][j]+g[u][j]-f[v][j]);
			if(j>0)ad(g[v][j],-f[v][j-1]+g[u][j-1]-f[v][j-1]);
			if(j>1)ad(g[v][j],-f[v][j-2]);
		}
		dfs2(v,u);
	}
}

int main(){
    File();
	read(n),read(k);
	math_init();
	int u,v;
	REP(i,2,n){
		read(u),read(v),add(u,v);
	}
	dfs1(1,0);
	memcpy(g[1],f[1],sizeof(f[1]));
	dfs2(1,0);
	REP(i,1,n){
		REP(j,1,k)
			ad(ans[i],g[i][j]*fac[j]%mod*S[k][j]%mod);
		ans[i]=(ans[i]+mod)%mod;
	}
	REP(i,1,n)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}