2022.1.6~2022.1.8 营业日志

2022.1.6~2022.1.8 营业日志

AGC027D Modulo Matrix

Description

构造 \(n\times n\) 的矩阵，满足：

• 矩阵内的数互不相等。
• 存在正整数 \(m\)，使得矩阵中两个相邻的数 \(x,y\)，满足 \(\max(x,y)\bmod\min(x,y)=m\)。

Analysis

考虑如果 \(1\times n\) 的矩阵并且保证要整除能怎么做。可以按照类似 dfs 的顺序做到一个 \(d(n)\) 做法。然后就不会了，只能想出这么多东西。

Solution

复读鱼大题解，感觉自己对构造题的思考方式还是缺乏了。

考虑加强限制，设 \(m=1\)。

不妨设矩阵是单调的，即右边大于左边，下面大于上面。那么一个位置需要满足的限制是 \(\text{lcm}(a_{i,j-1},a_{i-1,j})|a_{i,j}-1\)，发现只要确定了第一行和第一列，就可以构造出整个矩阵。但是这样值域过大了。

题面中“相邻数”的限制提示我们建立二分图模型，不妨设右部点大于左部点，那么就需要保证 \(\text{lcm}(N(i,j))|a_{i,j}-1\)，\(N(i,j)\) 表示和 \((i,j)\) 相邻的所有点。

不妨考虑往左部点中填入质数，这样右部点就是四个质数相乘的级别，质数可能很大。为了减少质数的使用，不妨钦定一个位置是两个质数相乘。这样，我们给每个对角线分配一个质数，左部点的权值为对角线上质数的乘积，这样质数的使用降低到了 \(\mathcal{O}(n)\) 级别。合适地分配质数可以通过本题。

启示：对于条件建立图论模型，矩阵上的二分图模型是常见的。还有就是多钦定一些条件，此题大小关系的情况复杂，难以处理，不妨通过钦定将其转化为简单的情况。

CF708D Incorrect Flow

Analysis

一条边类似绝对值的贡献函数比较难处理，不妨钦定每条边都调整成 \(0\)，然后再调大，这个时候贡献就是一个分三段的函数了，具体地：

• \(f\leq c\)，连流量和费用为 \((f,-1),(c-f,1),(\inf,2)\) 的三条边。
• \(f>c\)，连流量和费用为 \((c,-1),(f-c,0),(\inf,2)\) 的三条边。

容易发现代价是凸的，所以可以直接流。

但是写了一下样例跑出了负环，用这个处理一下就好了。

CF1060F Shrinking Tree

Analysis

https://www.luogu.com.cn/blog/yllcmQAQ/solution-cf1060f

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后面两天专门训练一下构造吧学多项式。

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P5290 [十二省联考 2019] 春节十二响

Analysis

这个题竟然是我最近能做的最思维的一个题（

发现最大的元素一定会被选，考虑一个贪心：每次从大到小选，如果它可以归到前面的其中一个反链，那么就归进去，否则新建一个反链。但是这里实际上涉及到一个决策，就是归到哪个反链的问题。我没有很好的处理方式。

发现一条祖先链的颜色互不相同，考虑以 dfs 序为阶段做一个 DP。虽然出现了和上面一样的问题，但是至少可以发现一个事实：假设最长链长度为 \(l\)，那么只会选 \(l\) 种颜色。证明可以考虑调整，若选择了超过 \(l\) 种颜色，那么至少存在一个点，没有最长链上的点和它在同一条反链。那么可以把它归到其中一条链上面，这样我们就把这条反链的大小减少了 \(1\)，并且调整是不劣的。

先考虑链怎么做，发现反链长度最多为 \(2\)，直接归并两条链就好了。

考虑以子树为阶段做一个 DP，设 \(f_u\) 为 \(u\) 的最优答案。虽然发现根本不能 DP，但实际上可以维护以 \(u\) 为根的反链的最大值，然后贪心地用链的方法合并。看起来很对，暴力合并是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的，不会证，但是交上去发现有 \(60\) 分，说明确实是对的（

考虑怎么加速合并，常见的树上快速合并的方法都要求以 \(\mathcal{O}(\min(x,y))\) 的复杂度合并两个集合。考虑插入一个集合后对原集合的影响，这步不是很难，用 set 维护就好了。

长链剖分维护，复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

Solution

启发式合并似乎可以做到相同的复杂度，复杂度不会证明。

启示：上面一步步推导贪心的过程，我都是以 DP 为引入，因为不太会贪心（。实际上贪心和 DP 也有着相似的讨论方法，树上问题同样可以类似 DP 地给贪心划分子树阶段，因为实际上贪心也是需要阶段的。

P4542 [ZJOI2011]营救皮卡丘

Analysis

发现每个人的行走路线合起来构成了一个链覆盖，所以可以先 floyd，求出 \(p(u,v)\) 表示 \(u,v\) 之间经过 \(\max(u,v)\) 之间的点的最短路，然后之间建模跑费用流就好了。用 KM 套 wqs 似乎可以做到 \(\mathcal{O}(n^3\log n)\)，但是费用流直接过了，这是怎么一回事呢？

CF266D BerDonalds

求图的半径。

先 floyd 求出最短路，中心在点上很好处理，关键是中心在边上。对于一个点 \(i\)，它在边 \((u,v,w)\) 上的最短路表现为函数 \(\min(dis_{i,u}+x,dis_{i,v}+w-x)\)，设 \(f(x)\) 表示所有点在 \(x\) 处的最大值，我们的问题是求 \(\min f(x)\)。

建立图形直观：

发现只要求出折线的交点就能求出最小值。考虑折线由哪些点构成，发现它就是按照 \(dis(u,i)\) 从大到小排序之后，\(dis(v,i)\) 的前缀最大值，不难给出证明。

排序之后随便算算就好了。复杂度 \(\mathcal{O}(n^3+n^2\log n)\)。

P5540 [BalkanOI2011] timeismoney | 最小乘积生成树

Strange Problem，貌似适用于所有求 \(\min f(A)g(A)\) 的问题。

这里的 \(f(A)\) 为所有 \(a_e\) 的和，\(g(A)\) 为所有 \(b_e\) 的和。将其看做二维平面上的点 \((f(A),g(A))\)，发现所有这些点都在左下凸包上。算法流程大致为：

• 找到凸包上的两个点。
• 找到这两个点的对踵点，将这个点加入答案，并分治两边。

这样可以找到所有凸包上的点。

找到两个点是简单的，只需要求出横坐标最小的点和纵坐标最小的点，这个可以以 \(a_e\) 或者 \(b_e\) 作为边权。

找到对踵点相当于最大化三角形面积，拆个叉积式子发现就是求和形式了。

这样只会执行凸包点数次最小生成树，而值域为 \(V\) 的凸包点数是 \(\mathcal{O}(V^{2/3})\) 级别的，总复杂度 \(\mathcal{O}(m\log m(na)^{2/3})\)。

ABC221H Count Multiset

不知道为什么做了好久！今天已经下班了，明天写。

Analysis

比较搞笑。

考虑写出原问题的一个形式化描述，大概是计数数列 \(x\)，满足：

• \(\sum ix_i=n\)。
• \(\sum x_i=t,t\in[1,n]\)。
• \(x_i\leq m\)。

有一个显然的 \(\mathcal{O}(n^2m\ln n)\) 的 DP 做法。尝试多项式、倍增等各类 DP 优化技巧发现都做不得，没有第三个限制还是做不得。

考虑做前缀和，然后问题形式长这样：计数数列 \(y\)，满足：

• \(\sum y_i=n\)。
• \(y_i\leq y_{i+1}\)。
• \(y_n=t\)。

感觉还是做不得。大眼观察半个小时之后发现这就是划分数/px。这个转化后的问题可以平方做掉。

考虑套上原问题，对于 \(m\) 的限制加上一个容斥，这样答案是什么划分数卷积的形式，还是不行。

不过此时考虑真正意义上的原问题：计数长度在 \([1,n]\) 数列 \(y\)，满足：

• \(\sum y_i=n\)。
• \(y_i\leq y_{i+1}\)。

这个是可以直接做的。关于 \(m\) 的限制，我们只要在做的时候时刻容斥掉前面恰好 \(m+1\) 个 \(1\) 的情况就好了。转移方程式大概是：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}-f_{i-j,j-(m+1)} \]

直接做就好了。

Solution

看到了两种做法。

第一种是，考虑原问题的另外一种转述，将原问题的形式差分，问题是：计数长度在 \([1,n]\) 的数列 \(x\)，满足：

• \(\sum ix_i=n\)。
• \(x_i\leq m\)。

这个可以直接套用暴力 DP，复杂度 \(\mathcal{O}(n^2\ln n)\)。

第二种是 alpha1022 的做法，考虑建立原问题的图形直观，大概是考虑一个格路计数模型，限制是：

• 从 \(x=0\) 出发最终走到 \(x=k\) 的一个位置。

• 每次可以向右或者向下。

• 不能连续往右边走 \(m\) 步。

• 图形的面积为 \(n\)。

旋转 \(90\) 度，限制是：

• 从 \(y=0\) 的某处出发，走到 \(y=k\) 的某处。
• 每一步可以往右边或者往上。
• 图形面积为 \(n\)。
• 最多连续向右走 \(m\) 步。

考虑设 \(f(n,h)\) 表示面积为 \(n\)，高度为 \(h\) 的方案数。枚举上一列的高度：

\[f(n,h)=\sum_{i\leq h,h-i\leq m}f(n-h,i) \]

启示：不是很困难但是不错的一个计数题，展示了计数问题的多维度。基于分拆数的简单的原问题存在至少四种不同的转述，四种转述各自有各自的做法，最后还通过建立图形直观得到了原问题的自然解释。有时候我们所做的转化可能没有分析题目性质，几乎与原问题等价，但是能明显感受到，转化后的问题变得更加直观，性质变得显然。我尝试对上述的每个模型套用分拆数的做法，但结果是不同的，不少做法都变得抽象而难以思考得到。正因如此，我最喜欢的做法是最后的几何转化，它几乎概括了以上的每个模型，并最终将我们引向正解。