状态机模型学习
1.大盗阿福
题目描述
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。
第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。
每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式
对于每组数据，输出一行。
该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
1≤T≤50
1≤N≤105
输入样例
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
输出样例
8
24
样例解释
对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。
对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。
题解
不到一分钟想出来，我们可以用类似没有上司的舞会那道题的思想，
状态表示f[i,0/1]表示考虑前i家店，1表示抢劫了第i家店，0表示没有抢劫
根据题意可以发现，0这个状态不仅可以由0转化而来，还可以从1转化来，
而1只能从0转化过来，写一下状态转移方程就可以了，复杂度做到线性，这题五百万，可以过了
代码如下：
#include<iostream> #include <algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 100010; int f[N][2]; int w; int main() { int n,t; cin >> t; while(t --) { cin >> n; for(int i = 1; i <= n; ++ i) { scanf("%d",&w); f[i][1] = w; f[i][1] = max(f[i][1],f[i - 1][0] + w); f[i][0] = max(f[i - 1][1],f[i - 1][0]); } cout << max(f[n][0],f[n][1]) << endl; } return 0; }
2.股票买卖 IV
题目大意
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
题解
和上道题类似的思路，先把状态机的简图画一下
状态转移方程：
f[ i ][ j ][ 0 ] = max (f[i - 1][ j ][ 0 ],f[i - 1][ j ][ 1 ] + w[ i ]) ;
f[ i ][ j ][ 1 ] = max (f[i - 1][ j ][ 1 ],f[i - 1][ j - 1 ][ 0] - w[ i ]) ;
代码
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int N = 100010,K = 110; int w[N]; int f[N][K][2]; int n,k; int main() { scanf("%d%d", &n, &k); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]); memset(f, -0x3f, sizeof f); for(int i = 0; i <= n; ++ i)f[i][0][0] = 0; for(int i = 1; i <= n; ++ i) for(int j = 1;j <= k; ++ j) { f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0],f[i - 1][j][1] + w[i]); f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1],f[i - 1][j - 1][0] - w[i]); } int res = 0; for(int i = 0; i <= k; ++ i) res = max(res,f[n][i][0]); printf("%d\n",res); return 0; }
3.股票买卖 V
题目大意
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i个数字表示一个给定股票在第 i天的价格。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
题解
和上一题的思路一样，不过上一题是两个状态，这一题是三个。但是没有限制交易次数k
找到状态机，根据状态机进行状态转移即可
如图所示（借用y总的图
代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 100010; const int INF = 0x3f3f3f3f; int n; int w[N]; int f[N][3]; int main() { cin >> n; for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d",&w[i]); f[0][0] = f[0][1] = -INF; f[0][2] = 0; for(int i = 1; i <= n; ++ i) { f[i][0] = max(f[i - 1][0],f[i - 1][2] - w[i]); f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i]; f[i][2] = max(f[i - 1][1],f[i - 1][2]); } int res = 0; for(int i = 1; i <= n; ++ i) { res = max((f[i][2],f[i][1]),res); } printf("%d\n",res); return 0; }
4.设计密码
题目大意
给一个字符串T，构造一个长度为n的字符串，满足字符串为小写并且T不是S的字串，求满足条件的字符串S的所有个数
题解
一道很好的题目，结合了KMP以及状态机的应用，做完之后觉得理解更透彻了
由于S串不确定，所以我们每次枚举S串当前匹配的结尾i的字母是多少，显然对于每个点，有26种可能
把26个字母看成边，相当于有26条边，可以跳到m + 1 个状态（其实只能考虑m个，因为当匹配长度为m不满足）
如果说可以匹配，那当然继续匹配，直到匹配的长度j = m
否则我们就是看匹配指针j可以回跳到哪个位置，
如果最后j的位置小于当前枚举到的字符串的第i位，在字符串T中的位置j（注意这两个j含义不同，在代码中前一个j用字母u进行表示） 也就是当前的密码没有字串
那么我们就更新答案就可以了
最后的话我们只要把构造长度为n的字符串S，在T中结尾的每个对应位置的合法方案数统计一遍，就是我们最终答案
代码
#include<iostream> #include<cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 55,mod = 1e9 + 7; char str[N]; int f[N][N]; int ne[N]; int main() { int n; cin >> n >> str + 1; int m = strlen(str + 1); for(int i = 2,j = 0; i <= m; ++ i) { while(j && str[i] != str[j + 1]) j = ne[j]; if(str[i] == str[j + 1]) j ++; ne[i] = j; } f[0][0] = 1; for(int i = 0; i < n; ++ i) for(int j = 0; j < m; ++ j) for(char k = 'a'; k <= 'z'; ++ k) { int u = j; while(u && k != str[u + 1]) u = ne[u]; if(k == str[u + 1]) u ++; if(u < m) f[i + 1][u] = (f[i + 1][u] + f[i][j]) % mod; } int res = 0; for(int i = 0; i < m; ++ i) res = (res + f[n][i]) % mod; cout << res << endl; return 0; }
